四、递归 ANIz,LS
;Sd\VR
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 -[= drj9I
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 ~^u16z,
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 ]sz3]"2
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: L-pVltX
fib(0)=0; Q'+MFld
fib(1)=1; ,*4p?|A
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 6{[pou&
写成递归函数有: 7&`}~$>}>e
int fib(int n) @prG%vb"
{ if (n==0) return 0; =ji1S}e~p
if (n==1) return 1; 8<mjh0F-,
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); "fg](Cp[z
} ve
~05mg
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 B!gGK|8
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 mcz+P |
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 2<&Bw2
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 {k4CEt;
【问题】 组合问题 w;Q;[:y
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 TI9UXa:V\
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 ^gVT$A
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 J7C4V'_
(10)3、2、1 ?u4INZ0W
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 ^:9$@+a
【程序】 |IunpZV
# include <stdio.h> Xh J,"=E+
# define MAXN 100 ZKg{0DY
int a[MAXN]; <Sz52Suh>
void comb(int m,int k) oG$)UTzGc
{ int i,j; fzjU<?}
for (i=m;i>=k;i--) C^QtSha
{ a[k]=i; [4fU+D2\d
if (k>1) gPAX4'
comb(i-1,k-1); [1 Ydo`
else [D5t{[i
{ for (j=a[0];j>0;j--) }HE6aF62O
printf(“%4d”,a[j]); %>g W9}kB
printf(“\n”); Bl9jkq
]
} jCTAKaq
} CG'.:`t
} 0&ByEN99
OD Ur
void main() &V>fYgui
{ a[0]=3; nhG
J
comb(5,3); 4tSv{B/}
} )
'j:
【问题】 背包问题 b$k&dT\o
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 zqDR7+]
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 !_2n
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: UpXz&k
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 \c[IbL07
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 8 6f2'o+
按以上思想写出递归算法如下: U/lM\3v/e
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) ;n\= R 5.
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ B3Jgd,[
if(包含物品i是可以接受的) ?PTk1sB
{ 将物品i包含在当前方案中; cI]WrI2CQa
if (i<n-1) EQqx+J&!
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); iYnEwAoN;
else Og;-B0,A
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ |^28\sm2e
以当前方案作为临时最佳方案保存; MxzLK%am
恢复物品i不包含状态; (;VVCAoy
} K^r)CCO
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ &rDM<pO #-
if (不包含物品i仅是可男考虑的) lyCW=nc
if (i<n-1) >zkRcm
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); :|o<SZ
else 8Ry74|`=R
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ \,!QJp4
以当前方案作为临时最佳方案保存; mj?16\|]
} ~lEVXea!
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表:
s95vK7I
物品 0 1 2 3 @`FCiH M
重量 5 3 2 1 Gamr6I"K
价值 4 4 3 1 k7tYa;C
,(a5 @H$f
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 _w@qr\4i=
1e xl0]-
按上述算法编写函数和程序如下: iAY!oZR(WT
【程序】 hzI*{
# include <stdio.h> .s/fhk,
# define N 100 W:i?t8y\y
double limitW,totV,maxV; 3p?KU-
int option[N],cop[N]; @1zQce>
struct { double weight; ~.PP30'
double value; L]a`"CH:a$
}a[N]; `SO|zz|'
int n; F>]#}_
void find(int i,double tw,double tv) F#xa`*AP
{ int k; Bs`$ i ;&
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 3CTX -#)vS
if (tw+a.weight<=limitW) J H.K.C(
{ cop=1; dQy>Nmfy
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); $]aBe
!
else 3#wcKv%>&_
{ for (k=0;k<n;k++) ]j>i.5
option[k]=cop[k]; 59(U `X
maxv=tv; y0v]N
} Z?i /r5F
cop=0; dsK&U\ej}
} g|P C$p-z+
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ *X%m@KLIKv
if (tv-a.value>maxV) h%d^Gq~
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); ,]R8(bD)
else SEKN|YQV/t
{ for (k=0;k<n;k++) $#o1MX
option[k]=cop[k]; 3L-^<'~-k;
maxv=tv-a.value; ,xJrXPW
} l#3($QV,
} `=tyN@VC
,KW;2t*IQ@
void main() "cho }X
{ int k; YHxbDf dA
double w,v; x_@i(oQ:_
printf(“输入物品种数\n”); .M|>u_<Qd
scanf((“%d”,&n); @%tXFizh
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); bggusK<
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) E|Bd>G
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ;##]G=%
a[k].weight=w; x49!{}
a[k].value=v; mAqDjRV1
totV+=V; wN]J8Ir
} GA^mgm"O
printf(“输入限制重量\n”); ,-*iCs<
scanf(“%1f”,&limitV); 2@@l {Y0f6
maxv=0.0; g%J./F=@3
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; D\L!F6taS
find(0,0.0,totV); $7gB_o$zz
for (k=0;k<n;k++) 0TE@xqW
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); m$UvFP1>u1
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); }*;EFR 6'
} * UcjQ
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 B<
;==|
【程序】 :F|\Ij0T
# include <stdio.h> )y50Mb0+
# define N 100 P@ypk^v
double limitW; i&ts YnP2
int cop[N]; @h-T:$
struct ele { double weight; ~^o=a?L`<
double value; mX_)b>iW
} a[N]; _'iDF
int k,n; 2bQ/0?.).-
struct { int flg; e9@(/+
double tw; X\2_;zwf
double tv; a+(j?_FyI
}twv[N]; VyZV(k
void next(int i,double tw,double tv) R$0U<(/
{ twv.flg=1; ?z.Isvn
twv.tw=tw; ZxSsR{
twv.tv=tv; qe?Ggz3p.
} =y;@?=T
double find(struct ele *a,int n) _EKF-&Q6
{ int i,k,f; /Dd\PjIH{
double maxv,tw,tv,totv; sco
uO$K
maxv=0; D0%FELG05
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) )1z4q`
totv+=a[k].value; +{vQSFW
next(0,0.0,totv); Vu|dV\N0*
i=0; rt;gC[3\
While (i>=0) i+U51t<
{ f=twv.flg; pGk"3.ce
tw=twv.tw; u[[/w&UV.,
tv=twv.tv; 32KR--mn%
switch(f) 5rF /323z
{ case 1: twv.flg++; r%[1$mTOR
if (tw+a.weight<=limitW) E3tj/4:L
if (i<n-1) N l|^o{#
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); rgT%XhUS6f
i++; a@k.$
} w%~qB5wF6
else =#'+"+lQ }
{ maxv=tv; 8>v7v&Bh|
for (k=0;k<n;k++) ahoh9iJ
cop[k]=twv[k].flg!=0; CRd_}
} wLSjXpP8
break; |$ w0+bV*
case 0: i--; y3AL)
break; |w,^"j2R
default: twv.flg=0; a[JZ5D
if (tv-a.value>maxv) p}r yKW\cJ
if (i<n-1) C &FN#B
{ next(i+1,tw,tv-a.value); *|CLO|B)
i++; =%)})
} ndB@J*Imu
else (Z'WR
{ maxv=tv-a.value; M3PVixli3
for (k=0;k<n;k++) iUpSN0XkMM
cop[k]=twv[k].flg!=0; jiOf')d5
} s|KfC>#
break; .8%vd
} iPNd!_
} =^"~$[z(
return maxv; q>c+bo
6
} UT% #K %
P)4x
void main() Z!k5"\{0pE
{ double maxv; XZ;*>(
printf(“输入物品种数\n”); ^Y#@$c
scanf((“%d”,&n); bQ
i<0|S
printf(“输入限制重量\n”); Kl!DKeF
scanf(“%1f”,&limitW); 37,L**Dgs
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); I"~xDa!
for (k=0;k<n;k++) i<0D
Z_rub
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); SG1&a:c+.
maxv=find(a,n); '=-s1c@^
printf(“\n选中的物品为\n”); `s#sE.=o
for (k=0;k<n;k++) ;}n|,g>
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); B?!9W@
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); aGdpecv
}