六、贪婪法 I !i#=
tV}ajs
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 (qc!-Isd~[
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 w
_6Y+
【问题】 装箱问题 1 {fwr1b
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 6w`}+3
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： eMP Q|
W
{ 输入箱子的容积； FoelOq6
输入物品种数n； \ ]e w@C
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； /j5-
"<;.
预置已用箱子链为空； u Z39Vx
预置已用箱子计数器box_count为0； Y_ ;i
for (i=0;i<n;i++) x#}eC'Q
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； 1 0Tg > H
if （已用箱子都不能再放物品i） Gv2./<{#
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； x2IU PM
box_count++； JI#Enh!Lv
} L|xen*O
else &.bR1wX
将物品i放入箱子j； *U^\Mwp
} ~9ls~$+*
} F8r455_W"
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 ?0)XS<
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 # *aGzF
【程序】 tH|Q4C
# include <stdio.h> A ** M"T
# include <stdlib.h> <cS7L0h
typedef struct ele o B}G^t
{ int vno; @ke})0 `5
struct ele *link; ^1&
LHrT
} ELE; "jN-Yd,z
typedef struct hnode `/j|Rb|eow
{ int remainder; `0WA!(W
ELE *head; H2R^t{ w
Struct hnode *next; v]Q _
} HNODE; (,9cCnvmYU
k)GuMw
void main() \ f Fy$
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; i I Nu` >I
HNODE *box_h, *box_t, *j; NCpn^m)Q}
ELE *p, *q; 4a50w:Jy]
Printf(“输入箱子容积\n”); YH+\rb_
Scanf(“%d”,&box_volume); gm\o>YclS
Printf(“输入物品种数\n”); X\)KVn`
Scanf(“%d”,&n); Y>!W&Gtu
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); Am` A[rV0
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); >]08".ajS
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); r^t Xr[}
Box_h=box_t=NULL; TdOWdPvYj
Box_count=0; $=QO_t)?
For (i=0;i<n;i++) W%Nu]9T
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); |l \/ {F
p->vno=i; T9v#Jb6
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) A VG`r2T
if (j->remainder>=a) break;
ex!w Y
if (j==NULL) G y7x?
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); z ex.0OT;
j->remainder=box_volume-a; SIVLYi
j->head=NULL; X ^ ]$/rI)
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; "?(Fb_}i
else box_t=boix_t->next=j; \kGtYkctZ
j->next=NULL; 7tO$'q*h
box_count++; Pi sr&"A
} J9t? ]9.,:
else j->remainder-=a; Z/UVKJm>:
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); IMw)X0z
if (q==NULL) UNLNY,P/!)
{ p->link=j->head; 0g uc0 0IN
j->head=p; }uj'BO2?
} d3J_IW+8R$
else 2*DS_ =6o
{ p->link=NULL; ${ ,eQ\
q->link=p; wmCV%g\.d:
} ;mKU>F<V
} Im1qWe
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); L*oL KigT
printf(“各箱子装物品情况如下：”); 8VGXw;(Y,d
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) (mr` ?LI}
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); @ [Qg}'i
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) l0 :xQ V`
printf(“%4d”,p->vno+1); 1gK3= Y s
printf(“\n”); !fjU?_[S
} MQM y Z:
} >gLy z2
【问题】 马的遍历 n|2-bRK-
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 zk~ r KQ,
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 2l4 i-;
4 3 t|"d#5'
5 2 ;9 \0x
马 yk6UuI^/
6 1 #{cp G2Rs
7 0 yj9 gN}+
P Y<V
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 qfe%\krN{i
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 z `7C)p:
【程序】 ?
NK} q\$
# include <stdio.h> /s_$CSiB
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; = +\ oL!^
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; #$)rwm.jW?
int board[8][8]; j !n> d
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) +Z0E?,Oz
{ int i1,j1,k,count; 2 ~'quA
for (count=k=0;k<8;k++) e (N <Mf
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; u`nn{C4D"
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; Zul32]1r
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) Vs(Zs [
a[count++]=(s+k)%8; na; ^/_U@
} :m)?+
return count; /Loe y
} NistW+{<
N Uml"
int next(int i,int j,int s) BJr Nbo;T
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; +'4 dP#
m=exitn(i,j,s,a); d0,F'?.0|
if (m==0) return –1; `t 2! M\)
for (min=9,k=0;k<m;k++) CU&,Kq @
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); 9xp
;$ 14
if (temp<min) |?W
{ min=temp; 8{ e 3
kk=a[k]; e@VRdh b
} ^/,yZ :
} mmK_xu~f28
return kk; U<gw<[>f
} R o$XbU)
~`f B\7 M
void main() 9?6$ 2I
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; . r"?w
for (sx=0;sx<8;sx++) 9>P(eN
for (sy=0;sy<8;sy++) [!
BH3J!
{ start=0; Ry~LhU:
do { 7QFE Q}
for (i=0;i<8;i++) , FO|'l
for (j=0;j<8;j++) 7NEn+OI4
board[j]=0; \O H:xW~
board[sx][sy]=1; =Ji:nEl]z
I=sx; j=sy; 4!|ar?Zy
For (step=2;step<64;step++) PS1~ 6f"D
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; N `MQHQ1
I+=delta_i[no]; 8A_(]Q
j+=delta_j[no]; n\Nl2u& m
board[j]=step; /Qy0vA vJ
} np(<Ap r
if (step>64) break; ; & +75n
start++; ?^p8]Va%
} while(step<=64) Lo 4t:H&
for (i=0;i<8;i++) h^, a 1'
{ for (j=0;j<8;j++) WLb7]rCTp
printf(“%4d”,board[j]); @I:&ozy }=
printf(“\n\n”); }hxYsI"d
} $!w% =
scanf(“%*c”); (%, '
} @su,w,xLS
}
