四、递归 E] rBq_S
<u/(7H
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 nO#x"
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 e-#Vs{?|r
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 /@U bN\
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: |,tKw4
fib(0)=0; }s[`T
fib(1)=1; HSVl$66
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 QOY{j
写成递归函数有: ~_
u3_d.
int fib(int n) \2CEEs'
{ if (n==0) return 0; Yr[&*>S
if (n==1) return 1; R?M>uaxn
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); L_o/fTz4
} =MT'e,T
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 XSGBC:U)l
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 V>D}z8w7
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 ,&L}^ Up
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 J$lfI^^
【问题】 组合问题 %M:$ML6b<
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 !+]KxB
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 eJeL{`NS
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 MG~bDM4
(10)3、2、1 rQosI:$
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 1iqgVby
【程序】 ]CPF7Hf
# include <stdio.h> Ss_}@p ^
# define MAXN 100 (T%Ue2zlY
int a[MAXN]; k5Su&e4]]
void comb(int m,int k) MGY0^6yK5
{ int i,j; i! gS]?*DH
for (i=m;i>=k;i--) 5vJxhBm/
{ a[k]=i; HiBI0)N}
if (k>1) i.\ e/9]f
comb(i-1,k-1); iB` EJftI!
else Mmg~Fn
{ for (j=a[0];j>0;j--) i[:cG
printf(“%4d”,a[j]); #\_8y`{x
printf(“\n”); ]LEaoOecu
} J57; X=M
} ? a)Fm8Y
} 0Ua=&;/2
}9&dY!h +
void main() nxNHf3
{ a[0]=3; 1}Y3|QxF
comb(5,3); %0 i)l|
} /4@
[^}x
【问题】 背包问题 z:Z-2WV2o
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 SlwQ_F"4L
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 JW)f'r_f
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: /nn~&OU
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 pRd'\+
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 vPc*x5w-
按以上思想写出递归算法如下: $HtGB]
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) 9Q!Z9n"8~)
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ tzv4uD]
if(包含物品i是可以接受的) _GrifGU\
{ 将物品i包含在当前方案中; :wG
)
if (i<n-1) kdp^{zW}
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); #Ge_3^'
else jOzi89
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ ^bP`Iv
以当前方案作为临时最佳方案保存; y#th&YC_b
恢复物品i不包含状态; 1z4_QZZ.NG
} -y{(h%6
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ pb)kN%
if (不包含物品i仅是可男考虑的) gS8+S\2
if (i<n-1) *,IK4F6>:
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); - Ry+WS=
else w`=O
'0d
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ r)OiiD"
以当前方案作为临时最佳方案保存; -/V(Z+dj
} E
AZX
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: e<*qaUI
物品 0 1 2 3 F-oe49p5e
重量 5 3 2 1 >\w]i*%
价值 4 4 3 1 vB}c6A4'U
r7L.W
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 1z-A3a/-
5+;Mc[V3-
按上述算法编写函数和程序如下: IvlfX`("
【程序】 jM
@N<k
# include <stdio.h> C ocw%Yl
# define N 100 -
jCj_@n
double limitW,totV,maxV; j/fniyJ)
int option[N],cop[N]; %ek0NBE7
struct { double weight; nO!&;E&
double value; RV);^, b
}a[N]; ar6+n^pi0]
int n; |cgjn*a?M
void find(int i,double tw,double tv) C*3St`2@9
{ int k; J7^UQ
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ $;'M8L
if (tw+a.weight<=limitW) Z) 2d4:uv
{ cop=1; ~LZrhwVj$
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); %y|pVN!U
else <U1T_fiBoc
{ for (k=0;k<n;k++) 1dw{:X=j
option[k]=cop[k]; MfHOn YV
maxv=tv; 6@t&
} 2QM{e!9
cop=0; FO%pdLs,
} s\pukpf@
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ p6K ~b
if (tv-a.value>maxV) ?|+e*{4k
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); 2[HPU M2>
else GK!@|Kk8q7
{ for (k=0;k<n;k++) T^(W _S
option[k]=cop[k]; J"LLj*,0"
maxv=tv-a.value; Sk/@w[
} )$bF*
} BV:Ca34&
y<6c*e1
void main() cv-rEHT
{ int k; Nw$OJ9$L>
double w,v; IGQBTdPUa
printf(“输入物品种数\n”); $
P5K
scanf((“%d”,&n); X:$vP'B>
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); yF?O+9R
A
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) "a(4])
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); Z,e|L4&
a[k].weight=w; R54ae:8
a[k].value=v; I;%1xdPt
totV+=V; \X _}\_c,d
} _uLpU4# ?
printf(“输入限制重量\n”); #qYgQ<TM!
scanf(“%1f”,&limitV); ,]7ouH$H}
maxv=0.0; <%Nf"p{K
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; 7Q9Hk(Z9
find(0,0.0,totV); OKlR`Vaty
for (k=0;k<n;k++) GIH{tr1:<
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); wT\BA'VQ
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); l<GN<[/.+
} nJ]7vj,rB
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 4
ZnQpKg
【程序】 ]vvA]e
# include <stdio.h> gBv!E9~l
# define N 100 [`b,SX
x
double limitW; ]tN)HRk1
int cop[N]; N6"sXwm
struct ele { double weight; zGR,}v%%
double value; -dA9x~o
} a[N]; R/Bjc}J'
int k,n; $cHU,
struct { int flg; kY\faWuR
double tw; Nh }-6|M
double tv; ))f@9m
}twv[N]; Rw{'
O]Q*
void next(int i,double tw,double tv) -Pp{aFe
{ twv.flg=1; pxgf%P<7
twv.tw=tw; R}gdN-941
twv.tv=tv; \efDY[j/
} S',h*e
double find(struct ele *a,int n) cB){b'WJ
{ int i,k,f; tjwf;g}$
double maxv,tw,tv,totv; py:L-5
maxv=0; cM'MgX9
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 3 0[Xkz
totv+=a[k].value; ?.Vuet
next(0,0.0,totv); Lw,}wM5X
i=0; {l,&F+W$C
While (i>=0) LYECX
{ f=twv.flg; v#&;z_I+
tw=twv.tw; Y4 z
tv=twv.tv; j0}wv~\
switch(f) R9R~$@~G
{ case 1: twv.flg++; mMwV5\(
if (tw+a.weight<=limitW) pI-Qq%Nwt
if (i<n-1) U1y!R<qlp
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); v1~l=^4&
i++; H`)eT6:|/
} ^3$U[u%q/{
else "h_f-vP
{ maxv=tv; f&4+-w.:V|
for (k=0;k<n;k++) y EfAa6
cop[k]=twv[k].flg!=0; s(3u\#P
} m_oUl(pk
break; 'Xwv,
case 0: i--; ~6kF`}5
break; n'^`;-
default: twv.flg=0; |.$B,cEd
if (tv-a.value>maxv) F$tzsz,9n
if (i<n-1) Nuot[1kS
{ next(i+1,tw,tv-a.value); ;&=CZ6vH
i++; }.)R#hG?
} >8I~i:hn
else 3]?='Qq.(
{ maxv=tv-a.value; Ebs]]a>PO
for (k=0;k<n;k++) "zJ xWXI
cop[k]=twv[k].flg!=0; k1xx>=md|C
} 1a(\F7
break; j%
7Gje[
} lqOpADLS3
}
E/oLE^yL
return maxv; -c?x5/@3
} N.q~\sF^
#)7`}7N
void main() =@M9S
{ double maxv; b'+Wf#.]f0
printf(“输入物品种数\n”); C]mp<
scanf((“%d”,&n); i=#\`"/
printf(“输入限制重量\n”); -@>]iBl
scanf(“%1f”,&limitW); |e@1@q(a[]
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); Q2ne]MI
for (k=0;k<n;k++) ,H"}Rw
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); j1g$LAe
maxv=find(a,n); 4bGvkxZo`$
printf(“\n选中的物品为\n”); plB8iN`x<
for (k=0;k<n;k++) 59D'*!l-
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); !Z2h?..O
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); rBmW%Gv
}