四、递归 @@=,bO
2m9qg-W
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 VOT9cP^6
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 ruy?#rk
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 Y\F4
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: CiTWjE?|7
fib(0)=0; 9fsc>9
fib(1)=1; Z
4c^6v
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 upFe{M@
写成递归函数有: 3;R`_#t+
int fib(int n) D!i|KI/
{ if (n==0) return 0; ,q$2D,dz
if (n==1) return 1; {*nE8+..A
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); X7?j90tH
} TV}=$\D
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 ^=qV)j
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 Omph(
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 ^}lL@Bd|
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 $SfY<j,R
【问题】 组合问题 !e('T@^u6u
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 ,I:[-|Q
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 Wj, {lJ,
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 1[\I9dv2
(10)3、2、1 61*b|.sl'#
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 rY)m"'puP
【程序】 *Zn,v-d
# include <stdio.h> "@rHGxK
# define MAXN 100
_w
FK+>
int a[MAXN]; !. :b}t
void comb(int m,int k) ]-l4
{ int i,j; 2~hQ
for (i=m;i>=k;i--) s:I 8~Cc
{ a[k]=i; pE$*[IvQ'
if (k>1) y8]vl;88yY
comb(i-1,k-1); CS0q#?
else 5'_:>0}
{ for (j=a[0];j>0;j--) 2L=(-CH9]
printf(“%4d”,a[j]); \!k\%j9
printf(“\n”); A@reIt
} ?28)l
4 Ml
} In*0.
} {fMo#`9=
Z1wfy\9c8
void main() ;XXEvRk
{ a[0]=3; Uh^j;s\y
comb(5,3); =q[ynZ8O\w
} 1"T&B0G3l
【问题】 背包问题 B0^:nYko
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 w<Iq:3
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 o@YEd d
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: r$%,k*X^
k
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 mOFp!(
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 2t7=GA+j
按以上思想写出递归算法如下: [ *
!0DW`
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) <<H'Z
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ H-8_&E?6m
if(包含物品i是可以接受的) Htep3Ol3
{ 将物品i包含在当前方案中; 1h`# H:
if (i<n-1) fm Fs
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
.L^F4
else Hq,znRz~`
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ ;9qwB
以当前方案作为临时最佳方案保存; !0cb f&^:
恢复物品i不包含状态; xww\L
&y
} yaAg!mW
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ jjg&C9w T
if (不包含物品i仅是可男考虑的) w# ;t$qz}
if (i<n-1) l!IN #|{(
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); Ub[UB%(T
else OO;I^`Yn
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ |2I
p*
以当前方案作为临时最佳方案保存; 4hUUQ;xj
} Nl{on"il
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: mHNqzdaa
物品 0 1 2 3 ~~#/jULbV
重量 5 3 2 1 > Qh#pn*
价值 4 4 3 1 -U@ycx|r
UiZ1$d*
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 ?y^ ix+M
##U/Wa3
按上述算法编写函数和程序如下: y <P1VES
【程序】 `Vh&XH\S
# include <stdio.h> ;\iu*1>Z,&
# define N 100 @! jpJ}
double limitW,totV,maxV; Y }8HJTMB
int option[N],cop[N]; 2-:` lrVd
struct { double weight; Bhe0z|&
double value; B:)vPO+ d
}a[N]; %3q7i`AZ
int n; RR>G}u9np
void find(int i,double tw,double tv) M,SIs
3
{ int k; ^!SwY_>
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ qx}*L'xB
if (tw+a.weight<=limitW) !1P<A1K
{ cop=1; ?q"9ZYX<
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); KzB9
mMrO
else bbWW|PtWwP
{ for (k=0;k<n;k++) ?#L5V'ZZ*
option[k]=cop[k]; 4*Z>-<W=
maxv=tv; Zy6>i2f4f
} >P2QL>P
cop=0; &tw{d DD6
} dVBr-+
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ /-g%IeF
if (tv-a.value>maxV) ;AT~?o`n
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); ts=+k/Z
else K?V'
?s
{ for (k=0;k<n;k++) M'$?Jp#]}
option[k]=cop[k]; weIlWxy
maxv=tv-a.value; )lVplAhZD
} smX&B,&@
} ~uJO6C6A
-J++b2R\%
void main() EyV6uk~
{ int k; 1(4IcIR5T;
double w,v; N'8}5Kx5
printf(“输入物品种数\n”); ))uki*UNK
scanf((“%d”,&n); 1@`mpm#Y
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); $PTl{
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) =`wnng5m
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); \Qz
a[k].weight=w; 7[(<t+
a[k].value=v; G3t\2E9S
totV+=V; `R:HMO[ow
} 9Oc(Gl5az
printf(“输入限制重量\n”); -[7S.
scanf(“%1f”,&limitV); e'dZ2;X$zo
maxv=0.0; /x&52~X5-
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; wdEQB-dA
find(0,0.0,totV); yzJTNLff
for (k=0;k<n;k++) :UDe\zcd"
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); *l'5z)]
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); tVAH\*a,/
} &fwb?Vn4
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 u]t#Vf-$u
【程序】 o&rNM5:
# include <stdio.h> )n$RHt+:>
# define N 100 T28Q(\C:}
double limitW; C?PgC~y)
int cop[N]; +p &$`(
struct ele { double weight; {IQCA-AI
double value; WSV% Oy3V
} a[N]; ~`VD}{[,B
int k,n; =%d0MZD
struct { int flg; W
sDFui
double tw; YXTd^M~@D
double tv; [f-<M@id/
}twv[N]; > ^d+;~Q;
void next(int i,double tw,double tv) fvw&y+|y!
{ twv.flg=1; :JG2xtn
twv.tw=tw; YDiru
twv.tv=tv; hkR Jqta)
} q=uJ^N
double find(struct ele *a,int n) mV'^4by
{ int i,k,f; I$1~;!<
double maxv,tw,tv,totv; #jX%nqMxW
maxv=0; LF_am*F
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) N`!=z++G
totv+=a[k].value; X:gE
mcXc
next(0,0.0,totv); AO^c=^
i=0; nV?e(}D
While (i>=0) _iW-i
{ f=twv.flg; O.wk*m!9
tw=twv.tw; 4(}V$#^+
tv=twv.tv; )Xd2qbi
switch(f) F5/,H:K\
{ case 1: twv.flg++; kI#yW!
if (tw+a.weight<=limitW) y
;T=u(}
if (i<n-1) di#:KW
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); NFlrr*=t>
i++; %z AN@
} .5?Md
else >tVD[wVF0
{ maxv=tv; -nC!kpo
for (k=0;k<n;k++) -$5nqaK?
cop[k]=twv[k].flg!=0; ? Glkhf7(
} GbbD)
break; e=EM07z
case 0: i--; L9(!L$
break; NW@guhK.
default: twv.flg=0; .eM
A*C~n
if (tv-a.value>maxv) X4:SH>U!
if (i<n-1) uOnyU+fZV
{ next(i+1,tw,tv-a.value); +#0,2wR#
i++; &&{_T4
} [[9XqD]
else mRC6m
K>
{ maxv=tv-a.value; \j3XT}
for (k=0;k<n;k++) 7Ys\=W1
cop[k]=twv[k].flg!=0; eXZH#K7S#
} A;#GU`
break; $sR-J'EE!
} 4|DGQ
} MbeO(Q
return maxv; Xw[|$#QKM
} ?*)wQZt;
8gI~x.k`
void main() G[!Y6c3
{ double maxv; MnymV;y"
printf(“输入物品种数\n”); Y'%k
G5nF
scanf((“%d”,&n); ]R s
printf(“输入限制重量\n”); 4GTB82V$
scanf(“%1f”,&limitW); YkbZ 2J*-
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); (xhV>hsA
for (k=0;k<n;k++) dGBVkb4]T
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); >J
No2
maxv=find(a,n); !^<%RT9@|
printf(“\n选中的物品为\n”); }X[wWH
for (k=0;k<n;k++) h$eVhN&Vv
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); oN6 '%
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); CNF3".a
}