四、递归 81H04L9K 7
~++y4NB8Q
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 H-0A&oG
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 Cq/*/jBM
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 0rA&_K[#-<
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: s'fHhG6
fib(0)=0; Al'
sY^B
fib(1)=1; 0sk*A0HX-
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 )MW.Y
写成递归函数有: oXV
int fib(int n) ~n|*-rca
{ if (n==0) return 0; ],&WA?>G
if (n==1) return 1; hq$:62NYg
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); 2Wq)y1R<T
} ^B>
4:+^
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 fkyj&M/
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 hU+sg~E
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 j$A~3O<e"
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 =R?NOWrDY
【问题】 组合问题 )iluu1,o
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 *)U=ZO6S
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 SG;]Vr
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 <+" Jh_N#
(10)3、2、1 US0)^TKrj
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 S#_i<u$$
【程序】 }O5c.3
# include <stdio.h> z9YC9m)jK
# define MAXN 100 L&Bc-kMH
int a[MAXN]; TpuN[Y
void comb(int m,int k) @B*?owba>
{ int i,j; \BbemCPAm
for (i=m;i>=k;i--) Zz,E4+'Rm
{ a[k]=i; yo") G!BN
if (k>1) D*DCMMp=0
comb(i-1,k-1); I%b,
H`
else *ukugg.
{ for (j=a[0];j>0;j--) BRFA%FZ,
printf(“%4d”,a[j]); X9#Od9cNaC
printf(“\n”); ^zO%O653
} Pfe&wA't
} NHPpHY3^.
} u==bLl=$
;:hyW,J
void main() 73rr">
9#0
{ a[0]=3; S3`zB?7,
comb(5,3); ke2'?,f
} 0^5SL/2
【问题】 背包问题 `\(Fax
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 7?qRY9Qu
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 uf^"Y3
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: 8BhLO.(<O
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 ;Q:^|Fw!F
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 Wb68" )$
按以上思想写出递归算法如下: }.$oZo9J
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) }rxFX
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ +kd88Fx
if(包含物品i是可以接受的) e$4 5 OL
{ 将物品i包含在当前方案中; 959&I0=g"
if (i<n-1) J}hi)k
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); S`5^H~
else r,A750P^
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ b-@6w(j
以当前方案作为临时最佳方案保存; `)*
恢复物品i不包含状态; T8JM4F
} pe Y( 4#
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ `QC{}Oo^
if (不包含物品i仅是可男考虑的) n1a;vE{!
if (i<n-1) ~*ZB2
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); kb Fr
else 8tK 8|t5+
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ L/1?PM
以当前方案作为临时最佳方案保存; s{2BG9s
} L L7a20
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: l&dHH_m3
物品 0 1 2 3 yrs![ u
重量 5 3 2 1 :\NqGS=<
价值 4 4 3 1 (?72 vCc
5-0
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 sT?Qlj'Zd
sf2_x>U1
按上述算法编写函数和程序如下: uB>NwCL;
【程序】 P)XkqOGpT9
# include <stdio.h> C=t:0.:PJ
# define N 100 &%ej=O
double limitW,totV,maxV; xV:.)Dq9
int option[N],cop[N]; @f{yx\u/
struct { double weight; R)?K+cJ%
double value; eOt T*
}a[N]; 1c(1 YGuH
int n; MGCwT@P
void find(int i,double tw,double tv) )@RTU~#
{ int k; 8 *;G\$+
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ Z=_p
if (tw+a.weight<=limitW) \O/EY&
{ cop=1; i%GjtYjS
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); c BQ|mA
else kZs
{ for (k=0;k<n;k++) ?>N82#9Q
option[k]=cop[k]; /XjIm4EN
maxv=tv; Wct
+T,8
} %qcBM~efT
cop=0; if9I7@
} L,!Z
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ a\$PqOB!
if (tv-a.value>maxV) ]F r+cP
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); |{k;pfPV
else N'+d1
{ for (k=0;k<n;k++) L[)+J2_<
option[k]=cop[k]; 2T<QG>;)j
maxv=tv-a.value; URck#5
} "!i7U2M'
} :c"J$wT/
c2Ua!p(c
void main() I1=YSi;A
{ int k; <T[%03
double w,v; 6A7UW7/
printf(“输入物品种数\n”); [3>l^Q|#
scanf((“%d”,&n); Jvw~b\
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); %L+/GtxK
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) S3PW [R@=
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); W1f]A#t<
a[k].weight=w; wb2N$Ew=
a[k].value=v; + ^{;o0kcx
totV+=V; 41>Bm*if
} :Qh5ZO&G0
printf(“输入限制重量\n”); NDglse
scanf(“%1f”,&limitV); CsS0(n(x
maxv=0.0; 0I* ^VGZ
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; Z`v6DfK}
find(0,0.0,totV); ])!|b2:s3
for (k=0;k<n;k++) u`$,S&Er
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); %?J\P@
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 6C9KT;6
} HdGAE1eU]}
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 d}3<nz,
【程序】 I&3L1rl3{*
# include <stdio.h> F IDNhu
# define N 100 l]Jk
}.
double limitW; "?Wwcd\
int cop[N]; AGQCk*dm
struct ele { double weight; ,Ej2]iO\7
double value; %}j.6'`{
} a[N]; di]z
int k,n; zNuiBLxDs
struct { int flg; E)o/C(g
double tw; HuBG?4Qd
double tv; &NZN_%
}twv[N]; wxB?}
void next(int i,double tw,double tv) {g@Wd2-J}
{ twv.flg=1; E&}r"rbI
twv.tw=tw; .qi$X!0
twv.tv=tv; aCcBmc
} S&}7jRH1
double find(struct ele *a,int n) EShc1KPqc
{ int i,k,f; 1el?f>
double maxv,tw,tv,totv; Q4{%)}2$
maxv=0; daE/v.a4|
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) @4^5C-
totv+=a[k].value; L^yQb4$&M
next(0,0.0,totv); E D*=8s2
i=0; Ij(S"P@
While (i>=0) p<?~~7V
{ f=twv.flg; 4,tMaQ
tw=twv.tw; d%Jl9!u
tv=twv.tv; \O/" F;
switch(f) ,*Y*ov23aQ
{ case 1: twv.flg++; 7)O?jc
if (tw+a.weight<=limitW) vnMt>]w-}
if (i<n-1) oD4NQR
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); [@U8&W
i++; F8Z<JcOI
} h#@l'Cye
else ji?0;2Y
{ maxv=tv; -Cd4yWkO
for (k=0;k<n;k++) 8[Cp
cop[k]=twv[k].flg!=0; %/>\`d?
} +"Ih'bb`j
break; bITOA
case 0: i--; #HWz.Wb
break; R[LVx-e7'
default: twv.flg=0; w(8q qU+\
if (tv-a.value>maxv) 1>jG*tr
if (i<n-1) ~fI&F|
{ next(i+1,tw,tv-a.value); s0H_Y'
i++; C$){H"#
} [&|Le;h
else 0bQaXxt|p
{ maxv=tv-a.value; qF`;xa%,}
for (k=0;k<n;k++) >aW|W!.
cop[k]=twv[k].flg!=0; il<D e]G
} \#1!qeF
break; Dx$74~2e
} z}.!q{Q
} #pBAGm3
return maxv; @g9j+DcU
} 2`+ ?s
yY_G;Wk
void main() `~UCWK
{ double maxv; g-E!*K
printf(“输入物品种数\n”); Q-F'-@`(C
scanf((“%d”,&n); IJ!]1fXy+
printf(“输入限制重量\n”); |xZDc6HDW
scanf(“%1f”,&limitW); fU@}]&
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ~'dnrhdme
for (k=0;k<n;k++) LTp5T|O
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); <4bv=++pS
maxv=find(a,n); $5GvF1
printf(“\n选中的物品为\n”); E}lU?U5i
for (k=0;k<n;k++) a({qc0+UK
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); kF3 EJ
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 8R`@edj>
}