八、动态规划法 >@rp]xx
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经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。 %kVpW&
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为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。 g00XZ0@
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列 E; RI.6y
问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。 t3bN
PK^
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B的公共子序列,是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。 Y9PG
如采用列举A的所有子序列,并一一检查其是否又是B的子序列,并随时记录所发现的子序列,最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。 -Tz/ZOJ
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质: 8.9S91]=
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列; 3!*J;Y
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列; (a)d7y.oo
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。 L#NPt4Sz+
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 RYvS,hf6z
定义c[j]为序列“a0,a1,…,ai-2”和“b0,b1,…,bj-1”的最长公共子序列的长度,计算c[j]可递归地表述如下: 4;&(
(1)c[j]=0 如果i=0或j=0; 8c~b7F
\
(2)c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I,j>0,且a[i-1]=b[j-1]; r--"JO%2
(3)c[j]=max(c[j-1],c[i-1][j]) 如果I,j>0,且a[i-1]!=b[j-1]。 \&W~nYXq"
按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1],故可以从c[m][n]开始,跟踪c[j]的产生过程,逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。 RJd55+h
# include <stdio.h> d]a*)m&
# include <string.h> g{a_{P
# define N 100 (?J&Ar0
char a[N],b[N],str[N]; N %0F[sY6
8G{} r
int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N]) \W*ouH
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j; (c[|k
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0; 5?2PUE,a
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0; eqjl$QWPJS
for (i=1;i<=m;i++) r!#a.
for (j=1;j<=m;j++) L4Kkbt<x
if (a[i-1]==b[j-1]) eOLS
c[j]=c[i-1][j-1]+1; ux-Fvwoh
else if (c[i-1][j]>=c[j-1]) Kb4u)~S:
c[j]=c[i-1][j]; NCl={O9<j
else wAy;ZNu
c[j]=c[j-1]; ^iTjr$hQ;
return c[m][n]; >gVR5o
} =\_MJ?A$
2;6p2GNSh
char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b) SJ+.i
u/
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b); Vl'|l)b4W
k=lcs_len(a,b,c); bh_i*DJ]
s[k]=’\0’; o1kLT@VCl
while (k>0) SDJAk&Z}R
if (c[j]==c[i-1][j]) i--; ~":?})
else if (c[j]==c[j-1]) j--; %]
else { s[--k]=a[i-1]; (5'qEi ea
i--; j--; x{&