四、递归 J,*+Ak
~
8?LHYdJ
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 @xeJ$
rlu
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 tz9"#=}0
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 tu' s]3RE
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: abw5Gz@Ag
fib(0)=0; )lU9\"?o
fib(1)=1; o]DYS,v
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 30W.ks5(
写成递归函数有: WOQ>]Z
int fib(int n) g&rz*)|/
{ if (n==0) return 0; TPn#cIPG
if (n==1) return 1; PsM8J
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); cAq5vAqmg
} & zv!cf
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 ?4#UW7I
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 p"0Dl9
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 _%u t#
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 gh `]OxA
【问题】 组合问题 \ #N))gAQ
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 V8rS~'{\
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 "(mF5BE-E
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 p,BoiYdi
(10)3、2、1 "?^#+@LV
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 u\(>a
【程序】 Gkm{b[
# include <stdio.h> W~FU!C?]
# define MAXN 100 *|ef #-|D
int a[MAXN]; T037|k a{
void comb(int m,int k) io UO0
{ int i,j; 8@/MrEOW#
for (i=m;i>=k;i--) FXul
u6"SX
{ a[k]=i; Fl!D2jnN
if (k>1) Z*'<9l_1
comb(i-1,k-1); |G/U%?`
else 3Ww 37V>h
{ for (j=a[0];j>0;j--) -<:w{cV
printf(“%4d”,a[j]); 85USMPF
printf(“\n”); QjKh#sU&
} urg^>n4V]
} Dq-[b+bm
} aeDhC#h
.{-X1tJ7
void main() WmkCV+thA
{ a[0]=3; J:@yG1VIp
comb(5,3); %2\6.c=c
} mqbCa6>_S
【问题】 背包问题 |I;]fH,+
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 4K
]*bF44
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 $>T(31)c
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: &eb8k2S
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 s>)?MB*vb
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 h; 6G~D
按以上思想写出递归算法如下: `I8ep=VZ
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) vSR5F9
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ mkq246<D~
if(包含物品i是可以接受的) mWUd-| Ul
{ 将物品i包含在当前方案中; UOyM=#ipY
if (i<n-1) J%lrXm(l{
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); ^r,0aNzAs
else }0sLeGJ!
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 5"ooam3
以当前方案作为临时最佳方案保存; ..5.":
恢复物品i不包含状态; MnlD87x@X
} b~2LD3"3
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ZYt1V"2VJ
if (不包含物品i仅是可男考虑的) WD1>{TSn
if (i<n-1) 1'P4{T0 [
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); B4* uS (
else !ST7@D
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 6s>io%,:
以当前方案作为临时最佳方案保存; {0%
} 7yjun|Lt}X
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: 8n["/5,
物品 0 1 2 3 H^dw=kS
重量 5 3 2 1 J #5V>7G
价值 4 4 3 1 _2{2Xb
eJ6 #x$I,
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 >f4[OBc
_ gGA/
按上述算法编写函数和程序如下: U2LD_-HZ
【程序】 Cm]\5}Py
# include <stdio.h> V`9*_8Dx2
# define N 100 fhyoSRLR:
double limitW,totV,maxV; FzykC
int option[N],cop[N]; QNXoAx%I
struct { double weight; _.E{>IFw
double value; 9GsG* $-I
}a[N]; f^KN8N
int n; )~gIJW
void find(int i,double tw,double tv) eeBW~_W
{ int k; KyQTrl.qdl
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 5$Kd<ky
if (tw+a.weight<=limitW) JTObyAoW
{ cop=1; ex^9 l b
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); ~0[(-4MA
else 0$0
215
{ for (k=0;k<n;k++) )CHXfO w
option[k]=cop[k]; jT/P+2hMW
maxv=tv; p2< 927z
} #;5Qd'
cop=0; hk$I-
} O hRf&5u$
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ JH u>\{ 8V
if (tv-a.value>maxV) _s<s14+od
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); a47e
else 'nq~1 >i
{ for (k=0;k<n;k++) f96`n+>xi
option[k]=cop[k]; 6(x53y__
maxv=tv-a.value; ;Qi!~VsP;
} p1hF.
} =qbN?a/?2
VFMn"bYOB
void main() 'p78^4'PL
{ int k; )Gk?x$pY@
double w,v; PVIZ
Y^64
printf(“输入物品种数\n”); q[+h ~)
scanf((“%d”,&n); )wXE\$
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ti$60Up
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) ;nJ2i?"
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); .C&kWM&j
a[k].weight=w; <lNNT6[/r
a[k].value=v; $|7=$~y
totV+=V; ]Yf^O @<<>
} cMCM>*X
printf(“输入限制重量\n”); x^ `IZ{!
scanf(“%1f”,&limitV); !* KQ2#e
maxv=0.0; ExN$J
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; t: oQHhO?
find(0,0.0,totV); gz~ug35
for (k=0;k<n;k++) 9HPmJ`b
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); "q1S.3V;
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); fJ0V|o
} P;K LN9/4
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 CrSBN~
【程序】 Z:Vde^Ih
# include <stdio.h> iz)r.TJ
# define N 100 ]N;nq
double limitW; uMpuS1
int cop[N]; +IWf~|s
struct ele { double weight; '9zKaL
double value; dG8mE&$g
} a[N]; }s:3_9mE
int k,n; *4LRdLMn
struct { int flg; O*bzp-6\
double tw; Z{:;LC
double tv; RZKx!X4=q
}twv[N]; Z_edNf}|
void next(int i,double tw,double tv) D(TG)X?
{ twv.flg=1; 9+$IulOvk
twv.tw=tw; 2+?W{yAEi
twv.tv=tv; *DXX*9 0
} v=+3AW-|v
double find(struct ele *a,int n) {\NBNg(Vo
{ int i,k,f; r> Xk1~<!
double maxv,tw,tv,totv; 9W+DW_M
maxv=0; $tI<MZ&Z
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) J]w3iYK
totv+=a[k].value; =tY%`e
next(0,0.0,totv); lkly2|wA
i=0; T31F8K3x
While (i>=0) a7uL{*ZR
{ f=twv.flg; jIwN,H1$-
tw=twv.tw; ){z#Y#]dP
tv=twv.tv; Fw{68ggk
switch(f) 8SLE*c^8
{ case 1: twv.flg++; 8DMqjt3B
if (tw+a.weight<=limitW) eK5~gnv,
if (i<n-1) "KS"[i!3j
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); EVBOubV
i++; ;DhAw 1
} #_`p
0wY
else x7G)^
{ maxv=tv; q*,HN(&l?
for (k=0;k<n;k++) rBU)@I pDG
cop[k]=twv[k].flg!=0; !Q<3TfC
} Wd+G)Mu_=
break; :SW
vH- ]
case 0: i--; CB,2BTtRE
break; .Y^3G7On
default: twv.flg=0; KaS*LDzw
if (tv-a.value>maxv) PC+Soh*
if (i<n-1) ?Q+*[YEJ5
{ next(i+1,tw,tv-a.value); 0UW_ Pbh6
i++; .w _BA)
} NS""][#
else gdoaXw;Sy
{ maxv=tv-a.value; 3Nwix_&S
for (k=0;k<n;k++) yB/F6/B~
cop[k]=twv[k].flg!=0; ;($xAAR
} _Ve)M%
break; D|<_96_m
} ZR%$f-
} ;&f(7 Q+T_
return maxv; -5]lHw}
} %.wR@9?
KHx;r@{<
void main() O"kb*//
{ double maxv; ZR0 OqSp]
printf(“输入物品种数\n”); 'vu]b#l3
scanf((“%d”,&n); ` ~^ My~f
printf(“输入限制重量\n”); J %B/(v`
scanf(“%1f”,&limitW); V@s93kh
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ,)!%^~v
for (k=0;k<n;k++) i `p1e5$
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); 7lAJ
0
maxv=find(a,n); W"pHR sf
printf(“\n选中的物品为\n”);
W/u(9
for (k=0;k<n;k++) R
>SZE"
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); y1~
QKz
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); vXwMo4F*
}