四、递归 ^%>kO,
1X1 NtS@
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 Pm{*.AW1
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 T*[
VY1
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 w:i:~f .
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: ,!#ccv+Vm%
fib(0)=0; :aAEJ
fib(1)=1; 0CExY9@Wq
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 GqKsK
r2%
写成递归函数有: G"SBYU
int fib(int n) PWr(*ZP>hI
{ if (n==0) return 0; YT#3n
if (n==1) return 1; SA"p\}"
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); jXg
} &&>tf%[
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 0(TTw(;
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 RFaSwf,5n
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 J([s5:.[
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 /=?x{(B>
【问题】 组合问题
q2aYEuu,
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 N)2f7j4C&
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 Z.PBu|Kx
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 V$`Gwr]|n
(10)3、2、1 IM@tN L
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 ?~e3&ux
【程序】 9!',b>C6
# include <stdio.h> G3i !PwW
# define MAXN 100 ;,h/
int a[MAXN]; Jju#iwb
void comb(int m,int k) ~&dyRtW4
{ int i,j; !^oV #
for (i=m;i>=k;i--) =8Jfgq9E
{ a[k]=i; eV^d6T$
if (k>1) "r4AY
comb(i-1,k-1); N2r/ho}8
else [lzN !!B!
{ for (j=a[0];j>0;j--) op2Of<{h
printf(“%4d”,a[j]); F9"w6;hh
printf(“\n”); Ex amD">T
} _gj&$zP
} ;*TIM%6#
} 1/+C5Bp*
{$D,?V@%_
void main() >et-{(G
{ a[0]=3; =ac_,]z
comb(5,3); Cwa^"r3P1
} x&sI=5l
【问题】 背包问题 %M
F;`; 1
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 Qd _6)M-
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 7,qYV}
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: } p
FQRSOZ
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 C@ZK~Y_g
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 96cJ8I8
按以上思想写出递归算法如下: {6;9b-a]
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) `_I@i]i^
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 8H,4kY?Z
if(包含物品i是可以接受的) ]B"'}%>ez
{ 将物品i包含在当前方案中; jdZ~z#`(!:
if (i<n-1) H(c72]@Vg
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); lf{e[!ML'
else {R<Ea
@LV+
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ >2$5eI
以当前方案作为临时最佳方案保存; |:[tNs*,O
恢复物品i不包含状态; >WJf=F`_H
} $EZN1\
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ _
nA p6i
if (不包含物品i仅是可男考虑的) k(>h^
if (i<n-1) @bM2{Rh:
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); &X@Bs-
else sIG7S"k>p
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ <U5wB]]
以当前方案作为临时最佳方案保存; uzmk6G
v
} ]w T 7*( Y
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: S:4crI
物品 0 1 2 3 `e9$,h|4
重量 5 3 2 1 Q?ahr~qo
价值 4 4 3 1 B[=(#W
E#J';tUQ
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 ,g-EW
jN
d2oh/j6`TA
按上述算法编写函数和程序如下: F|Mi{5G%
【程序】 /kL$4CA
# include <stdio.h> M` q?Fk
# define N 100 ^4r73ak/):
double limitW,totV,maxV; I}e3zf>
int option[N],cop[N]; 8h3=b[
struct { double weight; 7^wc)E^H
double value; '1,,)U#6E
}a[N]; +4[^!q*
H
int n; ~$'\L
void find(int i,double tw,double tv) Hsih[f
{ int k; ZX ?yL>4
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ D3|oOOoG
if (tw+a.weight<=limitW) QM3,'?ekRH
{ cop=1; 0TfS=scT
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); tz#gClo
else 4h@Z/G!T3
{ for (k=0;k<n;k++) /9o!*K
option[k]=cop[k]; o7mZzzP
maxv=tv; !d<"nx[2`
} k(zsm"<q
cop=0; Fk(JSiU
} REZJ}%}/
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ T\Uek-(
if (tv-a.value>maxV) iXyO(w4D
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); 91Uj}n%
else iX0iRC6f
{ for (k=0;k<n;k++) pF
^#}L
option[k]=cop[k]; #cj6{%c4
maxv=tv-a.value; /R>nr"
} .(pN5JI*
} b-3*Nl _%
TKk-;Y=N
void main() qwIa?!8o
{ int k; 4iW'kuK
double w,v; D:Q
21Ch
printf(“输入物品种数\n”); IbcZ@'RSw
scanf((“%d”,&n); )tCX
y4
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); -n'F v@U
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) )c l5B{1P
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); Zy|Mz&
a[k].weight=w; sp@E8G%xO
a[k].value=v; ,K:ll4{b
totV+=V;
#gm)dRKm%
} kId
n6 Wx,
printf(“输入限制重量\n”); A
AHt218
scanf(“%1f”,&limitV); .uNQBBNv
maxv=0.0; G_> #Js
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; mhW-J6u*
find(0,0.0,totV); )'*5R <#
for (k=0;k<n;k++) 9-]i.y
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); w8g,a]p
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); ^F:k3,_[
} DE2a5+^
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 qc#)!
【程序】 1 sPdz
L
# include <stdio.h> bT
2a40ul
# define N 100 FQ>`{%>
double limitW; N}\[Gr
int cop[N]; q>w)"Dd
struct ele { double weight; cBo{/Tn:
double value; }K8/-d6
} a[N]; wvrrMGU)a
int k,n; #
O4gg
struct { int flg; JHf
double tw; *D'$"@w3
double tv; q~o,WZG
}twv[N]; +za8=`2o
void next(int i,double tw,double tv) XQ4G)
{ twv.flg=1; >DPB!XA3
twv.tw=tw; OgF+OS
twv.tv=tv; jE#O>3+.
} H3Se={5h\A
double find(struct ele *a,int n) 5e
sQ;
{ int i,k,f; !"+'A)Nve
double maxv,tw,tv,totv; iS5W>1]
maxv=0; kD bhu^~B
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) {QCf}@_]h
totv+=a[k].value; d|T!v
next(0,0.0,totv); gocrjjAHk
i=0; tK
k#LWB
While (i>=0) ?BhMjsy.
{ f=twv.flg; 5=e@d:Sz
tw=twv.tw; h^j?01*Et
tv=twv.tv; 1^i Pji/
switch(f) `# sTmC)
{ case 1: twv.flg++; F4Y@
B
if (tw+a.weight<=limitW) %T7nO %p
if (i<n-1) 5s{ABJ\@V
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); 0euuT@_$
i++; 5MzFUv0)
} uUKcB:
else v=('{/^~>
{ maxv=tv; 8p-=&cuo\@
for (k=0;k<n;k++) H5D*|42
cop[k]=twv[k].flg!=0; -48vJR*tC
} vP+@z-O
break; n ]dL?BJ
case 0: i--;
^xPmlS;X
break; @-OnHE
default: twv.flg=0; KRjV}\}
if (tv-a.value>maxv) 4e;QiTj
if (i<n-1) J<Pw+6B~
{ next(i+1,tw,tv-a.value); L. ]$6Q0
i++; &sF^Fgg{
} r!,}Z=cGe
else fvb=#58N_
{ maxv=tv-a.value; ]tY
^0a
for (k=0;k<n;k++) WoxwEi1~0
cop[k]=twv[k].flg!=0; 0j C3fT!n
} M`6y@<
break; '_b.\_s-d
} /*|oL#hK
} ~{}#)gGU
return maxv; Y<0 4RV
} xnE|Umz
HNL42\Kz!
void main() f{0F|w<gf
{ double maxv; GU Q{r!S
printf(“输入物品种数\n”); h=_mNG>R)
scanf((“%d”,&n); @(C1_
printf(“输入限制重量\n”); GElvz'S~
scanf(“%1f”,&limitW); UU8pz{/
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); HK+/:'Pu
for (k=0;k<n;k++) jSc#+_y
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); pu,?<@0YK
maxv=find(a,n); 0EJ(.8hwm
printf(“\n选中的物品为\n”); 5JhdVnT_
for (k=0;k<n;k++) :NJ(r(QG>
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); V34hFa
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); -[L!3jU
}