四、递归 bO=|utpk
2s\ClT
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 )D,KG_7l
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 AI-*5[w#A
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 o$rjGa l
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: +WH\,E
fib(0)=0; >NRppPqL
fib(1)=1; h Jb2y`,q
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 z%82Vt!a5
写成递归函数有: 7zb^Z]
int fib(int n) b dgkA
{ if (n==0) return 0; }e?H(nZS7h
if (n==1) return 1; /<J(\;Jr6
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); {>f"&I<xw
} ?Y(
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 g^'h4qOa
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 ,&P
4%N"
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 VfX^iG r
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 g4IF~\QRVi
【问题】 组合问题 lB,1dw2(T
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 w&p+mJL.
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 3
jZMXEG)
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 4b8G 1fm
(10)3、2、1 C0wtMD:G
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 ~]?:v,UIm(
【程序】 gq7tSkH@
# include <stdio.h> \Z[1m[{
# define MAXN 100 ~KBa-i%o
int a[MAXN]; Hr|f(9xA
void comb(int m,int k) _fHC+lwN
{ int i,j; 2{-29bq
for (i=m;i>=k;i--) bdg6B7%Q
{ a[k]=i; ^#9385
if (k>1) X0lPRk53(
comb(i-1,k-1); u_(~zs.N]
else ;tjOEmIiU
{ for (j=a[0];j>0;j--)
"o5]:]h)
printf(“%4d”,a[j]); [jMN*p?
printf(“\n”); cb}"giXQTB
} (Xd8'-G$m
} |N.2iN:
} Hn|W3U
De?VZ2o9"
void main() fF@w:;u
{ a[0]=3; ;qshd'?*
comb(5,3); `Ij@;=(
} \T7Mt|f:5
【问题】 背包问题 (jT)o,IW&
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 Y6` xb`
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 1EyN
|m|
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: k# [!; <
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 <LHhs<M'
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 tW\yt~q,
按以上思想写出递归算法如下: OW7
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) 82r8K|L.<y
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 3:)z+#Uk6
if(包含物品i是可以接受的) .WSyL
{ 将物品i包含在当前方案中; 1Cr&6 't
if (i<n-1)
,"v&r(
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); cU1o$NRx
else LP2~UVq
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ +jm,nM9
以当前方案作为临时最佳方案保存; \TQZZ_Z
恢复物品i不包含状态; @- U\!Tf
} _D '(R
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ l/.{F ;3F
if (不包含物品i仅是可男考虑的) 1[FN: hm
if (i<n-1) ]G/m,Zv*:
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); }A)\bffH
else 3BFOZV+
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 9/ <3mF@E
以当前方案作为临时最佳方案保存; h0{X$&:
} dSM\:/t
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: O0 'iq^g
物品 0 1 2 3 Un?|RF
重量 5 3 2 1 @@65t'3S
价值 4 4 3 1 +7_qg
i7:
t R^f]+Up
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 ++cS^ Lo
"Ep"$d
按上述算法编写函数和程序如下: eg0_ <
【程序】 iq#{*:1
# include <stdio.h> "+HJ/8Dd1
# define N 100 afm\Iv[*
double limitW,totV,maxV; LEb$Fd
int option[N],cop[N]; s,z~qL6&
struct { double weight; gq=t7b
double value; honh'j
}a[N]; PDNl]?
int n; R9J!}az'
void find(int i,double tw,double tv) ZpTDM1ro
{ int k; o! a,r3
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ ?CpVA
if (tw+a.weight<=limitW) E C#0-,z
{ cop=1; d"wA"*8~y
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); G|6qL
else 6= iHw24
{ for (k=0;k<n;k++) BWt`l,nF
option[k]=cop[k]; Y;i=c6
maxv=tv; @8d 3
} f ULt4
cop=0; ,AP&N'
} `TrWtSwv
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ )6"}M;v
if (tv-a.value>maxV) K-RmB4WI
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); Et=Pr+Q{c
else JZ5k3#@e
{ for (k=0;k<n;k++) N\{"&e
option[k]=cop[k]; W06aj ~7Z
maxv=tv-a.value; ?cU,%<r
} |]\zlH"w
} fY<#KM6X
AwM`[`ReE
void main() c -w #`
{ int k; !eX0Q 2
double w,v; Q\Ek U.[I
printf(“输入物品种数\n”); gx&es\
scanf((“%d”,&n); >eJ<-3L;
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 1J?v\S$ma`
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 5EYGA\
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); .9~j%]q
a[k].weight=w; c(Q@5@1y:
a[k].value=v; ddHl&+G
totV+=V; 'l*X?ccKy
} a5*r1,
printf(“输入限制重量\n”); ImXYI7PL
scanf(“%1f”,&limitV); > 0^<<=m
maxv=0.0; 1@]&iZ]
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; >|f"EK}m!
find(0,0.0,totV); l\<.*6r
for (k=0;k<n;k++) Al>d
21U
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); qBEp |V
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); Tzq@ic#!B
} +nYFLe
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 8>KUx]AN
【程序】 m:@y_:X0
# include <stdio.h> b:==:d:0s
# define N 100 z.Cj%N
double limitW; o'2eSm0H
int cop[N]; PK|-2R"M
struct ele { double weight; 35\ |#2qw6
double value; W+h2 rv
} a[N]; <-VBb[M#
int k,n; mxNd_{n
struct { int flg; K%q5:9m
double tw; ,54z9F`
double tv; HTQZIm
}twv[N]; ,i:?c
void next(int i,double tw,double tv) j|!,^._i
{ twv.flg=1; 4BCPh:
twv.tw=tw; aODh5
twv.tv=tv; Fh #QS'[
} 7l *
&Fh9;
double find(struct ele *a,int n) TgiZ
% G
{ int i,k,f; #U:|-
a.>
double maxv,tw,tv,totv; X^\D"fmE.
maxv=0; P6+ B!pY
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) nI:M!j5s`
totv+=a[k].value; erH,EE^-x<
next(0,0.0,totv); z33UER"
i=0; -S$F\%
While (i>=0) :[0 R F^2}
{ f=twv.flg; l5 9a3=q
tw=twv.tw; Pn,I^Ej .
tv=twv.tv; <KMCNCU\+
switch(f) wQ33Gc
{ case 1: twv.flg++; ] Q5:JV
if (tw+a.weight<=limitW) .psb#4
if (i<n-1) ACRuDY
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); Ht[$s4 0P
i++; EI_-5Tt RD
} I~4z%UG
else 2e_ Di(us
{ maxv=tv; Qs1p
for (k=0;k<n;k++) \.L jA_
cop[k]=twv[k].flg!=0; "J(M. Y
} J!:BCjRdw
break; wf8{v
case 0: i--; :>FN|fz
break; 4=Th<,<
default: twv.flg=0; c
p"K ?)
if (tv-a.value>maxv) gFR}WBl/
if (i<n-1) )re<NE&M
{ next(i+1,tw,tv-a.value); f,G*e367:
i++; `~XksyT
} }e\"VhAl/
else 2!#g\"
{ maxv=tv-a.value; #^}H)>jWy
for (k=0;k<n;k++) 'z|Da &d P
cop[k]=twv[k].flg!=0; UoxlEec
} Q yqOtRk
break; Y`g o V
} r=Xo; d*TE
} ebBi zc=
return maxv; r8 9o
}
#b ^6>
UarLxPQ
void main() \F|)w|v
{ double maxv; '+9<[]
printf(“输入物品种数\n”); DzVCEhf
scanf((“%d”,&n); yCQvo(V[F
printf(“输入限制重量\n”); ;\K]~
scanf(“%1f”,&limitW); x?S86,RW
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); |[`YGA4
for (k=0;k<n;k++) !)bZ.1o
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); ZiPeP
maxv=find(a,n); 2 7)IfE
printf(“\n选中的物品为\n”); z|pt)Xl
for (k=0;k<n;k++) mG~kf]Y
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); Mt.Cj;h@^[
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); B $u/n
}