五、回溯法 Xm2\0=v5;
ha@L94Lq
回溯法也称为试探法,该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制,并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解;倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外,满足所有其他要求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一个解。在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模,以继续试探的过程称为向前试探。 @tohNO>
1、回溯法的一般描述 "|Fy+'5}
可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为:对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)∣xi∈Si ,i=1,2,…,n},给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域,且 |Si| 有限,i=1,2,…,n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 mpC`Yk
解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束,若满足,则为问题P的一个解。但显然,其计算量是相当大的。 Ok5<TZ6t4k
我们发现,对于许多问题,所给定的约束集D具有完备性,即i元组(x1,x2,…,xi)满足D中仅涉及到x1,x2,…,xi的所有约束意味着j(j<i)元组(x1,x2,…,xj)一定也满足D中仅涉及到x1,x2,…,xj的所有约束,i=1,2,…,n。换句话说,只要存在0≤j≤n-1,使得(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及到x1,x2,…,xj的约束之一,则以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)一定也违反D中仅涉及到x1,x2,…,xi的一个约束,n≥i>j。因此,对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
@4d)R
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树,它可以这样构造: WS-dS6Q}
设Si中的元素可排成xi(1) ,xi(2) ,…,xi(mi-1) ,|Si| =mi,i=1,2,…,n。从根开始,让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边,按从左到右的次序,分别带权xi+1(1) ,xi+1(2) ,…,xi+1(mi) ,i=0,1,2,…,n-1。照这种构造方式,E中的一个n元组(x1,x2,…,xn)对应于T中的一个叶子结点,T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1,x2,…,xn,反之亦然。另外,对于任意的0≤i≤n-1,E中n元组(x1,x2,…,xn)的一个前缀I元组(x1,x2,…,xi)对应于T中的一个非叶子结点,T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1,x2,…,xi,反之亦然。特别,E中的任意一个n元组的空前缀(),对应于T的根。 0|xIBg)
因而,在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点,要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1,x2,…,xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点,很自然的一种方式是从根出发,按深度优先的策略逐步深入,即依次搜索满足约束条件的前缀1元组(x1i)、前缀2元组(x1,x2)、…,前缀I元组(x1,x2,…,xi),…,直到i=n为止。 p?[Tm*r
在回溯法中,上述引入的树被称为问题P的状态空间树;树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点;树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点;树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点,它对应于问题P的一个解。 gwrYLZNGI
【问题】 组合问题 `J<*9dq%
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。 XLk<*0tp
例如n=5,r=3的所有组合为: 2I3h
MD0
(1)1、2、3 (2)1、2、4 (3)1、2、5 \?>Hu
v
(4)1、3、4 (5)1、3、5 (6)1、4、5 @53k8
(7)2、3、4 (8)2、3、5 (9)2、4、5 'X).y1'
(10)3、4、5 0<"k8
k@J
则该问题的状态空间为: <tpmUA[]
E={(x1,x2,x3)∣xi∈S ,i=1,2,3 } 其中:S={1,2,3,4,5} 'crlA~/
约束集为: x1<x2<x3 c5q9LQ/
显然该约束集具有完备性。 *,C(\!b
!?
Sgim3):Z
5*PYT=p}
2、回溯法的方法 t-
u VZ!`\
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T,利用T的层次结构和D的完备性,在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为: +h^jC9,m~{
从T的根出发,按深度优先的策略,系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点,而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索,以提高搜索效率。具体地说,当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时,即“激活”该状态结点,以便继续往深层搜索;否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索,而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯,一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点,直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点,即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。 mC&=X6Q]
在搜索过程中,只要所激活的状态结点又满足终结条件,那么它就是回答结点,应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时,一般要求出问题的所有解,因此在得到回答结点后,同时也要进行回溯,以便得到问题的其他解,直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。 I
+5)Jau^S
例如在组合问题中,从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点(1,2)时,虽然它满足约束条件,但还不是回答结点,则应继续深度遍历;当遍历到叶子结点(1,2,5)时,由于它已是一个回答结点,则保存(或输出)该结点,并回溯到其双亲结点,继续深度遍历;当遍历到结点(1,5)时,由于它已是叶子结点,但不满足约束条件,故也需回溯。 ,jA)wJ
3、回溯法的一般流程和技术 V6$xcAE"</
在用回溯法求解有关问题的过程中,一般是一边建树,一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面,我们给出回溯法的非递归算法的一般流程: @WH@^u
6K
cD&S/
在用回溯法求解问题,也即在遍历状态空间树的过程中,如果采用非递归方法,则我们一般要用到栈的数据结构。这时,不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点,而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。 jdKOb
例如在组合问题中,我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空,则表示了树的根结点。如果元素1进栈,则表示建立并遍历(1)结点;这时如果元素2进栈,则表示建立并遍历(1,2)结点;元素3再进栈,则表示建立并遍历(1,2,3)结点。这时可以判断它满足所有约束条件,是问题的一个解,输出(或保存)。这时只要栈顶元素(3)出栈,即表示从结点(1,2,3)回溯到结点(1,2)。 G)#$]diNuX
【问题】 组合问题 ?7:KphFX)
问题描述:找出从自然数1,2,…,n中任取r个数的所有组合。 sb:d>6
采用回溯法找问题的解,将找到的组合以从小到大顺序存于a[0],a[1],…,a[r-1]中,组合的元素满足以下性质: rWys'uc
(1) a[i+1]>a,后一个数字比前一个大; ^
PI 5L
(2) a-i<=n-r+1。 GWsE;
按回溯法的思想,找解过程可以叙述如下: M)*\a/6?{
首先放弃组合数个数为r的条件,候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件,扩大其规模,并使其满足上述条件(1),候选组合改为1,2。继续这一过程,得到候选组合1,2,3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件,因而是一个解。在该解的基础上,选下一个候选解,因a[2]上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求,得到解1,2,4和1,2,5。由于对5不能再作调整,就要从a[2]回溯到a[1],这时,a[1]=2,可以调整为3,并向前试探,得到解1,3,4。重复上述向前试探和向后回溯,直至要从a[0]再回溯时,说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下: =U[3PC-N@
【程序】 WPZ?*Sx
# define MAXN 100 T@}|zDC#
int a[MAXN]; o:Qv
JcB
void comb(int m,int r) g&dPd7
{ int i,j; ]&Z))H
i=0; %6Q4yk
a=1; 4tg<iH{
do { &aM7T_h8
if (a-i<=m-r+1 ,F&g5'
{ if (i==r-1) NmK8<9`u
{ for (j=0;j<r;j++) ]# t6Jwk
printf(“%4d”,a[j]); d]9U^iy
printf(“\n”); Z,BC*
} ~HQ9i%exg
a++; dd2[yKC`
continue; f= >OJ!:
} "5cM54Z0
else 'mI'dG
{ if (i==0) }QZQ3@
return; /iG*)6*^k
a[--i]++; Q1V9PRZX
} w\)|
} while (1) IwGqf.!.>
} A^Kbsc
0G!]=
main() .ROznCe}
{ comb(5,3); >-&R47G
} }68i[v9Njk
【问题】 填字游戏 !w
BJ,&E
问题描述:在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N(N≥10)内的某9个数字,每个方格填一个整数,似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 f#ri'&}c
:
可用试探发找到问题的解,即从第一个方格开始,为当前方格寻找一个合理的整数填入,并在当前位置正确填入后,为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书,就要回退到前一方格,调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后,就找到了一个解,将该解输出,并调整第九个的填入的整数,寻找下一个解。 $ d?.2Kg
为找到一个满足要求的9个数的填法,从还未填一个数开始,按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数,然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下,继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求,就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数,都不能满足要求,就得回退到前一方格,并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查,直到找到一个满足问题要求的解,将解输出。 ?` SUQm
回溯法找一个解的算法: >u9Nz0?j
{ int m=0,ok=1; 8H[:>;SI
int n=8; Wg`R_>qQSm
do{ zB yqD$
if (ok) 扩展; X.`~>`8
else 调整; s/089jlc
ok=检查前m个整数填放的合理性; h gJ[LU| >
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0)) \h8 <cTQ
if (m!=0) 输出解; zbJT&@z
else 输出无解报告; Z`YJBcXR
} .k,YlFvj
如果程序要找全部解,则在将找到的解输出后,应继续调整最后位置上填放的整数,试图去找下一个解。相应的算法如下: UA|u U5Q
回溯法找全部解的算法: ^*fQX1h<
{ int m=0,ok=1; K98i[,rP
int n=8; DBP9{ x$
do{ iiK]l
if (ok) I-OJVZ( V
{ if (m==n) <FZ@Q[RP
{ 输出解; cX3l t5
调整; s+>:,U<A
} ]l8^KX'
else 扩展; <$JaWL
} v+99
-.
else 调整; >M&3Y
XC
ok=检查前m个整数填放的合理性; O$4yAaD
X
} while (m!=0); QY= = GfHt
} b+Br=Fv"T
为了确保程序能够终止,调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验,即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序,按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小,都是可以采用的方法。如扩展时,先在新位置填入整数1,调整时,找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序,细节见以下找全部解的程序。 EYA,hc
【程序】 ^j7azn
# include <stdio.h> 7`u$
# define N 12 irjP>3_e
void write(int a[ ]) Dd`Mv$*d8
{ int i,j; DK}"b}Fvq
for (i=0;i<3;i++) y!xE<S&Y
{ for (j=0;j<3;j++) 6Cp]NbNrq
printf(“%3d”,a[3*i+j]); )p*}e8L
printf(“\n”); AlJ} >u
}
W%\C_
scanf(“%*c”); fDLG>rXPT
} kBN+4Dr/$
Jec'`,Y
int b[N+1]; K$d$m <
int a[10]; n0is\ZK 0
int isprime(int m) 'F3)9&M
{ int i; 8g7<KKw
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1}; }u1O#L}F5
if (m==1||m%2=0) return 0; f7}*X|_Y
for (i=0;primes>0;i++) O+ICol
if (m==primes) return 1; I|Gp$uq _
for (i=3;i*i<=m;)
Tgl}
{ if (m%i==0) return 0; _Zr.ba
i+=2; jRatm.N
} !kC*g
return 1; M+x,opl
} Fgh]KQ/5
IY*EA4>
int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1}, B-r0"MX&
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}}; M>/Zbnq
int selectnum(int start) Qa.uMq
{ int j; %'T #pz
for (j=start;j<=N;j++) \J6j38D5
if (b[j]) return j SV(]9^nW
return 0; 'PP#^aI,
} ^4o;$u4R
R=KQ
int check(int pos) vI@%Fg+D
{ int i,j; wiBVuj#
if (pos<0) return 0; Ot`VR&}
for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++) ^I+)o1%F
if (!isprime(a[pos]+a[j]) *2GEnAZb7n
return 0; e$pMsw'MJ
return 1; znHnVYll(
} Y5j]Z^^v
xL" |)A =
int extend(int pos) I&YSQK:b
{ a[++pos]=selectnum(1); )Dz+X9;g+
b[a][pos]]=0; '{B!6|"X
return pos; ~^cMys |'
} x]33LQ1]
Cn[0(s6
int change(int pos) 7>~5jYP
{ int j; of@#:Qs
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0) c}0@2Vf
b[a[pos--]]=1; RH|XxH*
if (pos<0) return –1 /g4f`$a
b[a[pos]]=1; aT`%;i^
a[pos]=j; 3Gip<\$v
b[j]=0; b2FO$Os
return pos; _H/8_[xk
} ?)#5X_V-q
i _%Q`i
void find() s@7H1)U
{ int ok=0,pos=0; )sT> i
a[pos]=1; J.|+ID+
b[a[pos]]=0; @|tL8?
do { (V HL{rj
if (ok) y(xJTj
if (pos==8) jfqopiSi
{ write(a); ~appY Av
pos=change(pos); /QJ?bD#a
} $O5UyKI
else pos=extend(pos); )<Hd T
else pos=change(pos); s
S7c!
ok=check(pos); vZBc!AW
} while (pos>=0) E^SH\5B
} zO
MA
/ID?DtJ
void main() x>Jr_A(
{ int i; GbaEgA'fa
for (i=1;i<=N;i++) a 7,C>%I
b=1; AoI/n4T^
find(); xoR;=ph
} bv*,#Qm
【问题】 n皇后问题 HC}YY2
问题描述:求出在一个n×n的棋盘上,放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。 *VZ5B<Ic
这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示,一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上,则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。 r#B+(X7LM
D N*t~Z3[
1 2 3 4 5 6 7 8 eh5gjSqx
× × 0p\@!Z H
× × × I2nhqJy^
× × × aUtnR<6
× × Q × × × × × uF3qD|I\
× × × t0T"@t#c
× × × m
RO~aD!N
× × c?,i3s+2Y
× × e[#j.|m
从图中可以得到以下启示:一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后,且一条斜线上也只有一个皇后。 v7`HQvQEz=
求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上,再配置第m+1列,直至第n列配置也是合理时,就找到了一个解。接着改变第n列配置,希望获得下一个解。另外,在任一列上,可能有n种配置。开始时配置在第1行,以后改变时,顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时,就要回溯,去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下: =>! Y{:
y(
{ 输入棋盘大小值n; '^"6+ k
m=0; !dC<4qZ\C
good=1; qm8&*UuKJ
do { +@/"%9w
if (good) |UxG $M(
if (m==n) `WH"%V:"Q
{ 输出解; .8G@%p{,
改变之,形成下一个候选解; ,5*eX
} %$Aqle[
else 扩展当前候选接至下一列; heK7pH7;d
else 改变之,形成下一个候选解; n;T7= 1_"
good=检查当前候选解的合理性; UZpIcj cL
} while (m!=0); <N9[?g)
} 5x>}O3Q_
在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组,但仔细观察就会发现,这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说,“常用信息”并不是皇后的具体位置,而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇后,引入一个一维数组(col[ ]),值col表示在棋盘第i列、col行有一个皇后。例如:col[3]=4,就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外,为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置,设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时,说明程序已求得全部解,结束程序运行。 UTH_^HAN#G
为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便,引入以下三个工作数组: Sh8"F@P8
(1) 数组a[ ],a[k]表示第k行上还没有皇后; "
_ka<R..
(2) 数组b[ ],b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后; ;hjwD
(3) 数组 c[ ],c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后; CtS l
棋盘中同一右高左低斜线上的方格,他们的行号与列号之和相同;同一左高右低斜线上的方格,他们的行号与列号之差均相同。 K]0JC/R6(@
初始时,所有行和斜线上均没有皇后,从第1列的第1行配置第一个皇后开始,在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后,准备考察第m+1列时,在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中为第m列,col[m]行的位置设定有皇后标志;当从第m列回溯到第m-1列,并准备调整第m-1列的皇后配置时,清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列,col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列,col[m]行方格内配置是合理的,由数组a[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序: 5)MS~ii
【程序】 }dd8N5b
# include <stdio.h> #hsx#x||
# include <stdlib.h> )}?#
# define MAXN 20 A?pbWt~}
int n,m,good; g #6E|n
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; fk x \=
a,WICv0E
void main() L');!/:
{ int j; -B$2\ZE
char awn; eXf22;Lz
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); p ObX42
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1; ikSt"}/hd
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1; d >t<_}
m=1; col[1]=1; good=1; col[0]=0; A'&K/) Z
do { gY8>6'~mS
if (good) !_cg\KU#
if (m==n) {R?U.eJW
{ printf(“列\t行”); w_{wBL[3e
for (j=1;j<=n;j++) hK,Sf ;5V
printf(“%3d\t%d\n”,j,col[j]); pj?f?.^
printf(“Enter a character (Q/q for exit)!\n”); ^kB8F"X
scanf(“%c”,&awn); $H9%J
if (awn==’Q’||awn==’q’) exit(0); J:zU,IIJ
while (col[m]==n) P IwFF}<(
{ m--; Y*vW!yu
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1; A*/HjTX
} O2%?
col[m]++; :1bWVM)
} DRi<6Ob
else `,(,tn_
{ a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0; ZGKu>yM
col[++m]=1; cZ2kYn8
} [CXrSST")E
else ?3.b{Cq{-
{ while (col[m]==n) j?x>_#tIY
{ m--; +yD`3`
E
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1; ?}U(3
} v63"^%LX
col[m]++; ?I~()]k5
} <y NM%P<Oy
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]]; 0p}D(m2B
} while (m!=0); 2
Cv4=S
} YLzx<~E4a
试探法找解算法也常常被编写成递归函数,下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部解和一个解。 2-Ej4I~
【程序】 5?F__Hx*2
# include <stdio.h> Bx4w)9+3
# include <stdlib.h> U_n9]Z
# define MAXN 20 .jk@IL
int n; 9#MBaO8_"
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; zZ` _D|<m
void main() ~U@;gLoD
{ int j; n4R(.N00
printf(“Enter n: “); scanf(“%d”,&n); O%5
r[
for (j=0;j<=n;j++) a[j]=1; &N\jG373
for (j=0;j<=2*n;j++) cb[j]=c[j]=1; sEGO2xeI
queen_all(1,n); .@@?Pj?)
} K)DDk9*
j;-1J_e5
void queen_all(int k,int n) ? -dX`n
{ int i,j; 6&