四、递归 $S?gQN.e
r#)1/`h
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 pl1CPxSdO
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 a oU"
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 YkB@fTTS
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: 0D@ $
fib(0)=0; `=#jWZ.8m
fib(1)=1; 1Pw1TO"Z
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 ^w~B]*A:"
写成递归函数有: g:JSy
int fib(int n) $'Mf$h
{ if (n==0) return 0; JRFUNy1+e1
if (n==1) return 1; LAf#Rco4
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); 8^j~uH
} p5or"tK
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 ~:T@SrVI
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 -2J37
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 ~BJE~
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 c6 mS
【问题】 组合问题 ([<HFc`
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 x$BNFb%I1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 r \ft{Z<P
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 Z8xB
a0
(10)3、2、1 .aY$-Y<
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 wT":
【程序】 |JYb4J4Ni
# include <stdio.h> Jk\-e`eE
# define MAXN 100 =#W:z.w
int a[MAXN]; lRg?||1ik
void comb(int m,int k) r@zT!.sc!
{ int i,j; S5TVfV5LI
for (i=m;i>=k;i--) %hYgG;22
{ a[k]=i; *
CR#D}F
if (k>1) 2Wluc37
comb(i-1,k-1); oHx:["F
else PJN9[Y{^3
{ for (j=a[0];j>0;j--) BK%B[f*[OA
printf(“%4d”,a[j]); MBA?, |9Q#
printf(“\n”); f- 9t
} ^)>( <6
} CipDeqau2
} Pa3-0dUr
a#r{FoU{M8
void main() ]}rNxT4<
{ a[0]=3; G'/GDN^j
comb(5,3); @s-P!uCaT
} Zc~7R`v7}
【问题】 背包问题 ;(`bP
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 (y>N\xS9
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 o( zez
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: (cLK hn@
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 jC>ZMy8U)4
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 N
{
oVz],
按以上思想写出递归算法如下: Nz`8)Le
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) T"Y#u
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ <9fXf*
if(包含物品i是可以接受的) H;nzo3x
{ 将物品i包含在当前方案中; ;`7~Q
if (i<n-1) u5}:[4N%I
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); /C!~v!;e
else EZB0qZIp
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ u9S*2'
以当前方案作为临时最佳方案保存; Ly2,*\7
恢复物品i不包含状态; PkDt-]G.
} }5vKQf
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ $mGzJ4&
if (不包含物品i仅是可男考虑的) (]'wQ4iQ
if (i<n-1) Vp]7n!g4l
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); YM_ [
else ON\bD?(VY
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ 7Fo^:"
以当前方案作为临时最佳方案保存; /(s |'"6
} I(~([F2
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: @
,X/Wf
物品 0 1 2 3 h7E?7nR
重量 5 3 2 1 qA7,txQ:
价值 4 4 3 1 7/<~s]D[%
@3c'4O
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 A Qjv?
4)T
ZXQ5fBx
按上述算法编写函数和程序如下: e5bXgmyil
【程序】 8wkhbD|;
# include <stdio.h> ~Re4zU
# define N 100 ^x O](,H
double limitW,totV,maxV; y p{Dl
int option[N],cop[N]; _?"y1L.
struct { double weight; Z]b;%:>=
double value; [ x{$f7CEh
}a[N]; O"~[njwkE
int n; 7(o`>7x*
void find(int i,double tw,double tv) GZaB z#U
{ int k; :&
Dv!z
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ OlyW/hd
if (tw+a.weight<=limitW) >|%3j,<U
{ cop=1; kNWTM%u9
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); [G8EX3
else "|(.W3f1
{ for (k=0;k<n;k++) #w|v.35%?
option[k]=cop[k]; vE(]!CB
maxv=tv; Zm*d)</>
} hA 5p'a+K
cop=0; z#&1>
} "v?F4&\ 8
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ,TWlg
if (tv-a.value>maxV) (Nc~l ^a
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); k^ZP~.G
else (^iF)z
{ for (k=0;k<n;k++) 3\}u#/Vb
option[k]=cop[k]; P x Q] $w
maxv=tv-a.value; h9 DUS,G9,
} E'4Psx9: =
} Szt2 "AR
t!3s@
void main() %bTuE' `b
{ int k; h%F.h![*
double w,v; 99*k&mb
printf(“输入物品种数\n”); NUVKAAgMX
scanf((“%d”,&n); bj@sci(1?
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); ,&@GxiU
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) >z%YKdq
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); P`@Rt
a[k].weight=w; LQ k^l`
a[k].value=v; P]n0L4c
totV+=V; 8>WA5:]v
} &o x
printf(“输入限制重量\n”); roc DO8f
scanf(“%1f”,&limitV); rP]|`*B
maxv=0.0; 36{OE!,i
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; \azMF} mb
find(0,0.0,totV); >ymn&_zlT
for (k=0;k<n;k++) b||usv[or
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); #pPOQv:~
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); AP%R*0]
} @P~%4:!Hr
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 g]Y%c73
【程序】 Mm*V;ADF
# include <stdio.h> (N&i4O-I
# define N 100 ]@Y!,bw&
double limitW; rfVQX<95=/
int cop[N]; .gfi9J
struct ele { double weight; zZPWE"u}
double value; :(ql=+vDb4
} a[N]; aHu0z:
int k,n; MzUKp"
struct { int flg; &&l
ZUR,`
double tw; nG3SDL#(k
double tv; @k;65'"Q
}twv[N]; i[9gcL"
void next(int i,double tw,double tv) )t+pwh!8
{ twv.flg=1; wxcJ2T d H
twv.tw=tw; bC+ZR{M
twv.tv=tv; Epp>L.?r
} C)FO:lLr\
double find(struct ele *a,int n) 0~ nCT&V
{ int i,k,f; d+)L K~
double maxv,tw,tv,totv; % t,42jQ9
maxv=0; 'Up75eT
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) BMO,eQcB
totv+=a[k].value; SujEF`"
next(0,0.0,totv); H0inU+Ih
i=0; <2@t~9
While (i>=0) A@|Z^T:
{ f=twv.flg; p_BG#dRM
tw=twv.tw; r6\g#}
tv=twv.tv; <-N eusx%
switch(f) t)8crX}P
{ case 1: twv.flg++; )G/=3;!
if (tw+a.weight<=limitW) "JmbYb#Z
if (i<n-1) B /3~[ '
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); pW8?EGO@
i++; SE(<(w
} i| cA)
else %LC)sSq{H
{ maxv=tv; An(gHi;1$
for (k=0;k<n;k++) =CFg~8W
cop[k]=twv[k].flg!=0; 2&'uO'K
} } -4p8Zt
break; D_<B^3w)
case 0: i--; "Vc|D (g
break; ?~.9:93
default: twv.flg=0; _6.@^\;
if (tv-a.value>maxv) `::j\3B&Y-
if (i<n-1) h\#4[/
{ next(i+1,tw,tv-a.value); 5[zr(FuE
i++; `4@`G:6BL
} moVf(7
else k(>J?\iNW
{ maxv=tv-a.value; !#]kzS0
for (k=0;k<n;k++) V^qBbk%l>D
cop[k]=twv[k].flg!=0; 5r8
["
} Jt8M;Yk
break; a&[[@1OY
} .-s!} P"
} aAoAjV NkK
return maxv; T06w`'aL
} X+emJ&Z$@
bU}!bol
void main() lKI]q<2
{ double maxv;
KYcc jX
printf(“输入物品种数\n”); jkuNafp}
scanf((“%d”,&n); m|cRj{xZF
printf(“输入限制重量\n”); {XhpxJ__
scanf(“%1f”,&limitW); K24y;968
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); h;K9}w
for (k=0;k<n;k++) ,V4pFQzL
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); QQHC
1
maxv=find(a,n); &n6
|L8
printf(“\n选中的物品为\n”); ?1]B(V9nBq
for (k=0;k<n;k++) a3Z()|t>
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); jAt65a
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); /e*<-a
}