六、贪婪法 Nuw_,-h
\666{. a
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 j<LDJi>O
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 |\OG9{q
【问题】 装箱问题 6^ ]Y])
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 BQ ol>VRu
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： t6u01r{~`
{ 输入箱子的容积； xCOC5f5*@
输入物品种数n； C> vp
oCA
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 9*+%Qt,{B
预置已用箱子链为空； )PU?`yLTr
预置已用箱子计数器box_count为0； #UcqKq
for (i=0;i<n;i++) +([
iC L
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； D4x~Vk%H
if （已用箱子都不能再放物品i） x*A_1_A
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； Ifm|_
box_count++； ' ju{ j`b
} 0!c^pOq6
else qe! \ oh
将物品i放入箱子j； B!=JRf T
} u*ZRU
4 U
} *jps}uk<
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 TqM (I[J7\
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 etE m#3
【程序】 =?}
t7}#
# include <stdio.h> :n:Gr?
# include <stdlib.h> k{op ,n#
typedef struct ele Q]Fm4
{ int vno; +K3SAGm
struct ele *link; /=zzym~<>
} ELE; 3@r_t|j
typedef struct hnode ]8|cV GMa
{ int remainder; eUyQS I4A
ELE *head; EPQ ~ V
Struct hnode *next; l ;I)$=={=
} HNODE; 6O^'J~wiI
?t& s T
void main() 38wt=0br
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; +6=2B0$
r
HNODE *box_h, *box_t, *j; %d5;JEgA:g
ELE *p, *q; LeA=*+zP[
Printf(“输入箱子容积\n”); a$7}_kb
Scanf(“%d”,&box_volume); LCrE1Q%VP
Printf(“输入物品种数\n”); vxxa,KR/y
Scanf(“%d”,&n); y;+5cn C
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); XCNfogl
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); A Z7
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); Kp +Lk
Box_h=box_t=NULL; &^C <J
Box_count=0; g7*ii
X
For (i=0;i<n;i++) l^s\^b=W
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); qHGXs@*M&
p->vno=i; AHq;6cG
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) paUlp7x
if (j->remainder>=a) break; tdTD!'
if (j==NULL) *^XfEO
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); " x. |'
j->remainder=box_volume-a; LLn,pI2fL{
j->head=NULL; $'I+] ;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; 6B)3SC
else box_t=boix_t->next=j; }E 5oa\ 1u
j->next=NULL; 2 0Xqs,
box_count++; h*_h M1 *;
} "5]Fl8c?
else j->remainder-=a; _`>F>aP
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); D}SYv})Ti
if (q==NULL) &C eG4_Mi
{ p->link=j->head; 7q&//*%yF
j->head=p; 9]AiaV9
} biCX: m+_?
else 3Zm'09A-.
{ p->link=NULL; -_bHLoI
q->link=p; 6~Kt T{MYQ
} ceakTA B[
} %[:\ZwT,-
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); M
<o y
printf(“各箱子装物品情况如下：”); ({#9gTP2b
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) xkIRI1*!
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); x.r OP_rs
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) (R _#lRaQ
printf(“%4d”,p->vno+1); [C
PgfVz
printf(“\n”); $]4>;gTL'
} }QszOi\fV1
} Yx21~:9}
【问题】 马的遍历 :"+/M{qz
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 %RE-_~GF
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 wD}ojA&DU
4 3 D ];%Ey
5 2 ^goa$ uxU
马 bWN%dn$$M
6 1 ,EyZ2` |
7 0 #rL%K3'
j rX .e
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 MP|J 0=H5
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 sd;J(<Ofh
【程序】 &Q>)3] |p
# include <stdio.h> `6KTQk'
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; ;b=3i T-2"
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; 8}/v[8 p
int board[8][8]; E5d?toZ,8"
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) *u$MqN
{ int i1,j1,k,count; G.2ij%Zz
for (count=k=0;k<8;k++) <}~` YU>=v
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; !`8W NY?K
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; #}50oWE
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) K1rF;7Y6
a[count++]=(s+k)%8; TqbDj|7`R
} \\80c65-
return count; jd9GueV*(
} -LF0% G
+u1meh 3u
int next(int i,int j,int s) 7\sJ=*
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; D8a[zXWnc
m=exitn(i,j,s,a); 5BvCP
if (m==0) return –1; P q\m8iS,w
for (min=9,k=0;k<m;k++) Mp:/[%9Fi
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); zGrUl|j
if (temp<min) / ,3,l^kZ
{ min=temp; G=lcKtMdg
kk=a[k]; Hl"qLrb4
} dmHpF\P5f
} |oq27*ix~m
return kk; M)Iu'
} aRBTuLa)fo
}`g:) g J
void main() [KA&KI^hF
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; 7 jq?zS|
for (sx=0;sx<8;sx++)
5Xn+ cw*
for (sy=0;sy<8;sy++) 'p=5hsG
{ start=0; "mbcZ5 _
do { G%
wVQ|1
for (i=0;i<8;i++) 7XKPC+)1ya
for (j=0;j<8;j++) Vv=/{31
board[j]=0; AV0m31b
board[sx][sy]=1; nQuiRTU<
I=sx; j=sy; b #U
nE
For (step=2;step<64;step++) vn"2"hPF|
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; 8spoDb.S
I+=delta_i[no]; YfBb=rN2s
j+=delta_j[no]; (0s 7<&Iu
board[j]=step; LG6VeYe|\X
} V[-4cu,Ph^
if (step>64) break; ^06f\7A
start++; w9 I7pIIl
} while(step<=64) IYm~pXg^0
for (i=0;i<8;i++)
% {\|/#>:
{ for (j=0;j<8;j++) k0IW,z%
printf(“%4d”,board[j]); l6Hu(.Ls;j
printf(“\n\n”); +g_+JLQ
} ;D^%)v /i
scanf(“%*c”); ?Xm! ;sS0
} hC ^|
}
