四、递归 [YP8z~
,R0@`t1 p
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 E>TD`
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。 m
s\:^a
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。 Q_/{TE/sO5
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即: =]oBBokV
fib(0)=0; _dppUUm
fib(1)=1; D
h ]+HF
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。 $1oU^VY
写成递归函数有: ]+)z}lr8 C
int fib(int n) N%6jZmKip
{ if (n==0) return 0; %*OKhrM
if (n==1) return 1; E*IkI))X0
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2); Vi`+2%4
} gwQL9
UYx
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。 TveCy &
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。 H? N!F7s
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。 ]7zDdI|
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。 &q1(v3cOO
【问题】 组合问题 cRz7.9-<
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1 ]g3&gw
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1 {>OuxVl??k
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1 7M}T^LC
(10)3、2、1 (rFY8oHD
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 CU6rw+Vax
【程序】 2N)=fBF%-
# include <stdio.h> qfE/,L(B
# define MAXN 100 %^^2
int a[MAXN]; ZA>hN3fE'
void comb(int m,int k) "m})~va
{ int i,j; y%
uUA]c*m
for (i=m;i>=k;i--) @Qd6a:-6
{ a[k]=i; Z<En3^j`
if (k>1) Jjik~[<q:
comb(i-1,k-1); 2j-|.l c
else ] =b?^'
{ for (j=a[0];j>0;j--) :Y
y+%
printf(“%4d”,a[j]); B:ddlxT$
printf(“\n”); h0Acpd2
} nXK"B Ye
} 5ejdf
} gm8L5c
V
BMU~1[r
void main() ~FH''}3:3
{ a[0]=3; X55Eemg/
comb(5,3); E&
T9R2Y
} *La*j3|:
【问题】 背包问题 dGQxGt1
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。 8^p/?R^bu
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 ^SxB b,\
对于第i件物品的选择考虑有两种可能: eznw05U
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。 8U\;N
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 u%a2"G|
按以上思想写出递归算法如下: 0@,,YZf
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv) X"J79?5
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ Ts0.Ck
if(包含物品i是可以接受的) wke$
{ 将物品i包含在当前方案中; :::"C"Ge
if (i<n-1) wED~^[]f
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); s7 O?)f f
else R_uA!MoLs
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ {~16j"
以当前方案作为临时最佳方案保存; {i~qm4+o
恢复物品i不包含状态; v;el= D
} INW8Q`[F
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ ,f$A5RN
if (不包含物品i仅是可男考虑的) ~t<BZu
if (i<n-1) c G?RisSZ
try(i+1,tw,tv-物品i的价值); ex $d~
else &xr?yd
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/ )Be}Ev#)Zx
以当前方案作为临时最佳方案保存; IyOujdKa
} ?Z(
6..&
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表: -}2q-
物品 0 1 2 3 CeR4's7
重量 5 3 2 1 #E5#{bra
价值 4 4 3 1 Vj0`*nC)/
>~TLgq*
并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。 XIJ>\ RF
-:pLlN-f
按上述算法编写函数和程序如下: itX<!
【程序】 Mz40([{
# include <stdio.h> o&rejj#
# define N 100 9g J`H'
double limitW,totV,maxV; mY(~94{d
int option[N],cop[N]; PPDm*,T.
struct { double weight; .pu]21m=
double value; `iv,aQ '
}a[N]; GUmOK=D >
int n; M^mS#<!y
void find(int i,double tw,double tv) oQ8W0`bZa
{ int k; @`$8rck`
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ Eo)Q> AM
if (tw+a.weight<=limitW) ~8`r.1aUO
{ cop=1; e_g7E+6
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv); *M/3 1qI
else FlD
!?
{ for (k=0;k<n;k++) & @^|=>L
option[k]=cop[k]; DDN#w<#
maxv=tv; 5Tb93Q@c
} }OI;M^5L
cop=0; 65=i`!f
} N#C,_ k
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ &Dqg<U
if (tv-a.value>maxV) H~J#!3
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value); AmRppbj/wO
else pHni"iT
{ for (k=0;k<n;k++) uV52ko,
option[k]=cop[k]; PS`v3|d}}}
maxv=tv-a.value; (Pin9^`ALc
} "%<Oadz ap
} 6~&4>2b0f
`WC~cb\
void main() 6jRF[N8
{ int k; xO'1|b^&
double w,v; /=lrdp!a
printf(“输入物品种数\n”); ;,JCA#
N
scanf((“%d”,&n); _&.CI6
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 8>T
'
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) t 4{{5U'\
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); i~n>dc YW
a[k].weight=w; u <%,Ql
a[k].value=v; d.% Vm&3
totV+=V; fJd!;ur)0
} !R[o6V5T
printf(“输入限制重量\n”); 6@ET3v
scanf(“%1f”,&limitV); v#(wc+[
maxv=0.0; N#6&t8;kTC
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; 2y,NT|jp
find(0,0.0,totV); mj%Iow.
for (k=0;k<n;k++) )e4nKh],
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); n_v|fxF1
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 9$)TAI&P
} :a0qm.EN
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。 IpB0~`7YI
【程序】 |mc!v*O
# include <stdio.h> Y2yVl+
# define N 100 ts{Tk5+
double limitW; tlCgW)<?
int cop[N]; fN?HF'7V
struct ele { double weight; y_Bmd
double value; g(,gg1mG
} a[N]; ljlQ9wb[s
int k,n; nr!kx)j
struct { int flg; G3OqRH
double tw; 7 H.2]X
double tv; 0{@E=}}h
}twv[N]; Hp8)-eT
void next(int i,double tw,double tv) SE;Jl[PgcL
{ twv.flg=1; Z[FSy-;"
twv.tw=tw; 3O:Z;YP:<
twv.tv=tv; UKZsq5Q
} yw{GO([ZQ
double find(struct ele *a,int n) hJkIFyQ{j
{ int i,k,f; IyL2{5
double maxv,tw,tv,totv; ^ bexXYh
maxv=0; W.HM!HQp
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) ,+oQ 5c(f
totv+=a[k].value; Hb#8?{
next(0,0.0,totv); Mf<Pms\F
i=0; |jU/R
While (i>=0) egYJ.ZzF0
{ f=twv.flg; b=wc-nA
tw=twv.tw; rMH\;\
I|U
tv=twv.tv; GW]Ygf1t
switch(f) K`M 8[ %S
{ case 1: twv.flg++; @@# ^G8+l
if (tw+a.weight<=limitW)
=BMON{K
if (i<n-1) : ,fs'!
{ next(i+1,tw+a.weight,tv); qYl%v
i++;
1Vp['&
} ';^VdR]fk
else dArg'Dc4
{ maxv=tv; v<ASkkh>
for (k=0;k<n;k++) DKPX_::
cop[k]=twv[k].flg!=0; O<
v0{z09*
} pyq~_Bng
break; cD YKvrPY
case 0: i--; BB.^-0up
break; cE$<6&0
default: twv.flg=0; dli?/U@hO
if (tv-a.value>maxv) N41)?-7F
if (i<n-1) ] L"jt8E
{ next(i+1,tw,tv-a.value); N8@Fj!Zi
i++; ]t=m
} T[`o$j6
else }G]6Rip3
{ maxv=tv-a.value; -v/1R1$e1
for (k=0;k<n;k++) (OLj E]9;
cop[k]=twv[k].flg!=0; _s[ohMlh
} FMc$?mm
break; Tv_KdOv8
} 1aP3oXLL
} j_H9l,V
return maxv; TTZb.
} \uQ yp*P1s
eGkB#.+J!
void main() &xo_93
{ double maxv; Iq]+O Q
printf(“输入物品种数\n”); F0qpJM,
scanf((“%d”,&n); X4_1kY;
printf(“输入限制重量\n”); T`mG+"O
scanf(“%1f”,&limitW); J$F
1sy
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); iH<:wLY&J
for (k=0;k<n;k++) <j,ZAA&5%Y
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); vMu6u .e
maxv=find(a,n); O`j1~o<{
printf(“\n选中的物品为\n”); K~$A2b95
for (k=0;k<n;k++) "4NcszEN
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); {e~#6.$:
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); $REz{xgA=
}