六、贪婪法 9\Ff z&
Y[PC<-fyf
贪婪法是一种不追求最优解,只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解,因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择,而不考虑各种可能的整体情况,所以贪婪法不要回溯。
2<8l&2}7]
例如平时购物找钱时,为使找回的零钱的硬币数最少,不考虑找零钱的所有各种发表方案,而是从最大面值的币种开始,按递减的顺序考虑各币种,先尽量用大面值的币种,当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优,是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币,而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法,应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币,共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 s1[.L~;J
【问题】 装箱问题 ~e,l2
<
问题描述:装箱问题可简述如下:设有编号为0、1、…、n-1的n种物品,体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V,即对于0≤i<n,有0<vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 ~cO iv
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集,最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n,找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此,对装箱问题采用非常简单的近似算法,即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中,该算法虽不能保证找到最优解,但还是能找到非常好的解。不失一般性,设n件物品的体积是按从大到小排好序的,即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求,只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序,然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下: q!U$\Q&
{ 输入箱子的容积; K>~YO~~
输入物品种数n; \5<Z [#{
按体积从大到小顺序,输入各物品的体积; ->;2CcpHB
预置已用箱子链为空; (AjgLNB
预置已用箱子计数器box_count为0; f0^s<:*
for (i=0;i<n;i++) fsEQ4xN'
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j; a"O;DYh
if (已用箱子都不能再放物品i) p]y.N)a
{ 另用一个箱子,并将物品i放入该箱子; SfY 5Xgp
box_count++; G,<d;:
} T3=h7a %=
else [x,
`)Fk
将物品i放入箱子j; -:r<sv$
} 0>-}c>
} t~ I;IB
上述算法能求出需要的箱子数box_count,并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解,设有6种物品,它们的体积分别为:60、45、35、20、20和20单位体积,箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算,需三只箱子,各箱子所装物品分别为:第一只箱子装物品1、3;第二只箱子装物品2、4、5;第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子,分别装物品1、4、5和2、3、6。 St!0MdCH
若每只箱子所装物品用链表来表示,链表首结点指针存于一个结构中,结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 K@[Hej6d
【程序】 T?A3f]U
# include <stdio.h> aYk: CYQ
# include <stdlib.h> &|'yqzS3
typedef struct ele Mby4(M+&n
{ int vno; uR2|> m
struct ele *link; ^uw]/H3?L
} ELE; s 8K.A~5 w
typedef struct hnode 8"d??3ZXJ
{ int remainder; kQ&Q_FSO
ELE *head; Z 369<
Struct hnode *next; G"(aoy,
co
} HNODE; g#6R(
FaWc:GsfB
void main() #>G:6'r
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; Pz
D30VA
HNODE *box_h, *box_t, *j; QAo/d4
ELE *p, *q; u~FVI
Printf(“输入箱子容积\n”); gWj r|m<
Scanf(“%d”,&box_volume); lJfk4 -;M
Printf(“输入物品种数\n”); *a8 <cf
Scanf(“%d”,&n); 4DL2
A;T
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); K3=0D!D q
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积:”); >;j&]]-&
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); wRK27=\z
Box_h=box_t=NULL; @U?&1.\
Box_count=0; 47{5{/B-
For (i=0;i<n;i++) (s|WmSQ
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); |}YxxeAk
p->vno=i; yeIS} O
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) Vz-q7*o$S
if (j->remainder>=a) break; =\ 5f_g2M
if (j==NULL) |-*50j l
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); Hc|cA(9sh9
j->remainder=box_volume-a; mv,a>Cvs[
j->head=NULL; y.8nzlkE{
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; WH7UJCQ
else box_t=boix_t->next=j; q&6|uV])H
j->next=NULL; T?Z^2.Pvc
box_count++; y|0/;SjV
} P&[&Dj
else j->remainder-=a; 8vR'<_>Q
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); ~@@$-,}X
if (q==NULL) b9T6JS j
{ p->link=j->head; ([rSYKpi
j->head=p; j5/|1N
} {<}Hut:a
else {(Mmv[y
{ p->link=NULL; L0=`1q
q->link=p; e$Yvy>I'tS
} Ets6tM`
} g6.I~oQj
printf(“共使用了%d只箱子”,box_count); Z1$U[Tsd
printf(“各箱子装物品情况如下:”); ;0?OBUDO
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) :mLXB75gH
{ printf(“第%2d只箱子,还剩余容积%4d,所装物品有;\n”,I,j->remainder); ywyg(8>zE
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) '?_~{\9<
printf(“%4d”,p->vno+1); gzW{h0iRr
printf(“\n”); 8*B+@`
} |tLD^`bt
} 3q@JhB
【问题】 马的遍历 (ToD
u@p
问题描述:在8×8方格的棋盘上,从任意指定的方格出发,为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 l S
p"(&
马在某个方格,可以在一步内到达的不同位置最多有8个,如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘,其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法(称为着法)设定一个顺序,如当前位置在棋盘的(i,j)方格,下一个可能的位置依次为(i+2,j+1)、(i+1,j+2)、(i-1,j+2)、(i-2,j+1)、(i-2,j-1)、(i-1,j-2)、(i+1,j-2)、(i+2,j-1),实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理,可以引入两个数组,分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 Fe:
~M?]
4 3 F)imeu
5 2 {
JDD"z
马 IBu\Sh-
6 1 Pn@DHYP
7 0 cmCD}Skk
SG0PQ
对于本题,一般可以采用回溯法,这里采用Warnsdoff策略求解,这也是一种贪婪法,其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中,选择出口最少的那个位置。如马的当前位置(i,j)只有三个出口,他们是位置(i+2,j+1)、(i-2,j+1)和(i-1,j-2),如分别走到这些位置,这三个位置又分别会有不同的出口,假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3,则程序就选择让马走向(i-2,j+1)位置。 t7V7 TL!5'
由于程序采用的是一种贪婪法,整个找解过程是一直向前,没有回溯,所以能非常快地找到解。但是,对于某些开始位置,实际上有解,而该算法不能找到解。对于找不到解的情况,程序只要改变8种可能出口的选择顺序,就能找到解。改变出口选择顺序,就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况,引入变量start,用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0,当不能找到解时,就让start增1,重新找解。细节以下程序。 (64es)B}"
【程序】 {5%d#|?
# include <stdio.h> =_@) KWeX$
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; ug;\`.nT^
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; ){eQ.yW
int board[8][8]; L=HnVgBs
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) x`I Wo:j
{ int i1,j1,k,count; 5~2_wWjX
for (count=k=0;k<8;k++) g$hEVT
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; b<"jmB{
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; BE~-0g$W
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) _]D
6m2R
a[count++]=(s+k)%8; cQBc6eAi
} 9pS:#hg
return count; i-@V
} R@_3?Z!W=
Q^05n$ tI
int next(int i,int j,int s) dmLx $8
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; 5U]@
Y?
m=exitn(i,j,s,a); u.?jW vcv
if (m==0) return –1; Pq(LW(
for (min=9,k=0;k<m;k++) 7d|1T'
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); )z4eRs F|
if (temp<min) 4UzXTsjM7
{ min=temp; E:A!tu$B
kk=a[k]; N{@~(>ee^
} B/n~ $
} e0Gs|c+6
return kk; oZl%0Uy?9I
} 15aPoxo>
7kT X
void main() tuuwoiQ*`
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; `GCK%evLG
for (sx=0;sx<8;sx++) OTJMS_IT
for (sy=0;sy<8;sy++) ov Xk~%_
{ start=0; o>Dd1
j
do { KQw>6)
for (i=0;i<8;i++) S0r+Y0J]<
for (j=0;j<8;j++) g:G5'pZf
board[j]=0; +bJ~S:[
board[sx][sy]=1; #,XZ @u+
I=sx; j=sy; a{rUk%x
For (step=2;step<64;step++) J}#2Wy^{
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; W5:fY>7
I+=delta_i[no]; zzW$F)X
j+=delta_j[no]; l]&x~K}
board[j]=step; nvNF~)mu
} + DE/DR:
if (step>64) break; 8xhx*A
start++; A 2A_F|f
} while(step<=64) 1cRF0MI
for (i=0;i<8;i++) HNj;_S
{ for (j=0;j<8;j++) fM*?i"j;Y
printf(“%4d”,board[j]); G8/q&6f_
printf(“\n\n”); \$ss
} 8_S| 8RW(
scanf(“%*c”); .j**>&7L
} elpTak@
}