六、贪婪法 oaI Lh
/PR 4ILed
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 oj'YD Q^uj
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 O?A%
【问题】 装箱问题 ^si[L52BZ
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 !V/7q'&t=
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： 2:nI4S
{ 输入箱子的容积； w5/6+ @}
输入物品种数n； [>3dhj[;
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； vW? /:
预置已用箱子链为空； Y}Y~?kE>M|
预置已用箱子计数器box_count为0； L?&&4%%
for (i=0;i<n;i++) 9 v3n4=gc
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； t6\--lk_
if （已用箱子都不能再放物品i） #mK?:O\-1
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； `f~$h?}3-@
box_count++； Lz:FR*
} %4YSuZg
else Vw`Q:qo0:b
将物品i放入箱子j； Pv\8 \,B9
} \l
8_aj
} `Gl[e4U
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 ?gvu
E1
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 E_Y!in
70
【程序】 Bm%|WQK
# include <stdio.h> lq, ]E/<&
# include <stdlib.h> kDM?`(r
typedef struct ele U&a(WQV9&
{ int vno; ~.0'v [N
struct ele *link; l7 @cov
} ELE; 8]1,E E<
typedef struct hnode IJDbm}:/e
{ int remainder; Wyeb 1
ELE *head; qZ@d:u
Struct hnode *next; mieyL9*n7
} HNODE; "^wIoJ 6H'
I,)\506
void main() MLmaA3
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; 5a)$:oO!
HNODE *box_h, *box_t, *j; se=^K#o
ELE *p, *q; :h3n[%
Printf(“输入箱子容积\n”); \ n^[!e"`
Scanf(“%d”,&box_volume); p FwJ:
Printf(“输入物品种数\n”); u!F\`Gfm_
Scanf(“%d”,&n); g)|vS>^~
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); k"/Rjd(;
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); 9e
vQQN6D|
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); )N1iGJO)
Box_h=box_t=NULL; 5IFzbL#q#f
Box_count=0; +/]*ChrS
For (i=0;i<n;i++) ~
L>M-D4o
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); h%4UeL &F
p->vno=i; ;#0$iE
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) D. x8=|;
if (j->remainder>=a) break; gNA!)}m\
if (j==NULL) unbIfl=
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); p0]\QM l1
j->remainder=box_volume-a; :)tsz;
j->head=NULL; V
d] 7v
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; |GsMLY:0
else box_t=boix_t->next=j; M_2>b:#A*
j->next=NULL; "Ehh9 m1&
box_count++; KtH^k&z.f
} qK9A
/Mc
else j->remainder-=a; k%kEW%I yG
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); 'd&4MA 0X
if (q==NULL) Ry xu#]s
{ p->link=j->head; ;' 08-Et
j->head=p; k hD)x0'b
} Y5;afU='
else }&2,!;"">3
{ p->link=NULL; >gM"*Laa?
q->link=p; `8Ych @f]
} uwZ,l-6T
} <o*b6 m%
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); 6-J}ZfGj
printf(“各箱子装物品情况如下：”); y'>JT/Q5
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) %.l={B,i
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); dG]B-(WTC
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) IA[:-2_
printf(“%4d”,p->vno+1); S $o1Q
printf(“\n”); B'`25u_e<
} I w h0PfWJ
} :M f8q!Q'
【问题】 马的遍历 -o{ x
;:4
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 p4UEhT
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 1 ,Mm+_)B
4 3 [?O4l`
5 2 8"-=+w.CZ
马 HIvSpO
6 1 u U> L (
7 0 p|mFF0SL
(c^ { T)
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 ;BT7pyu%[
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 8e,F{>N
【程序】 N mxh zjJ
# include <stdio.h> KZVdW@DY
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; 4>v O9q
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; 1@h8.ym<"
int board[8][8]; 2/uZ2N |S
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) K9p<PLy+
{ int i1,j1,k,count; -z qpjxU:
for (count=k=0;k<8;k++) \0_jmX]p
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; ;Oqf{em];
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; ' ]+!i a
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) J[hmY= ,
a[count++]=(s+k)%8; 'g'RXC}D>
} .s!0S-RkC
return count; '-[hy>t
} Z~8%bfpe
m6$&yKQ-=h
int next(int i,int j,int s) DLqH * U
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; Vwh ;QJxb
m=exitn(i,j,s,a); bDJ!Fc/
if (m==0) return –1; q1x[hv3
pP
for (min=9,k=0;k<m;k++) ~9yK MUf
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); g}gGm[1SUo
if (temp<min) m{X{h4t
{ min=temp; S<cz2FlV
kk=a[k]; 0j6b5<Gpc*
} :9%e: -
} c ^.^5@
return kk; 1r} i[5
} \=im{(0h
8AY;WL:;
void main() dzAumWoh
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; SG |AJ 9
for (sx=0;sx<8;sx++) \ERxr
for (sy=0;sy<8;sy++) F8{gJaP x
{ start=0; ]sL.+.P
do { Y;huTZ
for (i=0;i<8;i++) t!6uz
for (j=0;j<8;j++) yI#qkl-
board[j]=0; S#B%[3@
board[sx][sy]=1; bPP@
I=sx; j=sy; ipp`9 9
For (step=2;step<64;step++) X{, mj"(w
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; ex1!7A!}g
I+=delta_i[no]; N|2d9E
j+=delta_j[no]; a{^z= =
board[j]=step; ]w _&%mB
} I]+
zG
if (step>64) break; .Fge AxflP
start++; vN],9 q
} while(step<=64) f'(F'TE
for (i=0;i<8;i++) 3'` &D/n
{ for (j=0;j<8;j++) Y$n +\K
printf(“%4d”,board[j]); r,0D I
printf(“\n\n”); %aK[Yvo6
} Xy 4k;+
scanf(“%*c”); )V[j~uOU)]
} )$ 9w Kk\F
}
