八、动态规划法 G|1.qHP[F
X=]utn
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。 ,/b!Xm:
为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。 q q&U)-`
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列 pIcg+~
问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。 qNj?Rwc
给定两个序列A和B,称序列Z是A和B的公共子序列,是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。 HBE[q#
如采用列举A的所有子序列,并一一检查其是否又是B的子序列,并随时记录所发现的子序列,最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。 bT2G
G
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质: \N0vA~N.
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列; t
sUu
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列; z6E =%-`
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。 <.4(#Ebd
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 s~ 8g
定义c[j]为序列“a0,a1,…,ai-2”和“b0,b1,…,bj-1”的最长公共子序列的长度,计算c[j]可递归地表述如下: <F0^+Pf/
(1)c[j]=0 如果i=0或j=0; Vl5>o$G|<.
(2)c[j]= c[i-1][j-1]+1 如果I,j>0,且a[i-1]=b[j-1]; o$.#A]Flb
(3)c[j]=max(c[j-1],c[i-1][j]) 如果I,j>0,且a[i-1]!=b[j-1]。 >{Hg+/
按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[j-1],故可以从c[m][n]开始,跟踪c[j]的产生过程,逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。 %CiF;wJ
# include <stdio.h> C-c'"FHq
# include <string.h> P1LOj
# define N 100 j%nN*ms
char a[N],b[N],str[N]; f- 9t
2n@`Og_0
int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N]) m-
<y|3
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j; a&b/C*R_
for (i=0;i<=m;i++) c[0]=0; NLL"~
for (i=0;i<=n;i++) c[0]=0; Ju47} t%HB
for (i=1;i<=m;i++) 8N'hG,
for (j=1;j<=m;j++) {ac$4#Bp[B
if (a[i-1]==b[j-1]) ]}rNxT4<
c[j]=c[i-1][j-1]+1; `Fr ,,Q81\
else if (c[i-1][j]>=c[j-1]) -GPBX?
c[j]=c[i-1][j]; iG6]Pr|;e
else {HEWU<5
c[j]=c[j-1]; ;Y*K!iFWH
return c[m][n]; iXnXZ|M
} ftPps-
I&La0g